El teorema de Noether

El día  23 de marzo Google me sorprendió trayendo a mi memoria algo de mis estudios de física. Lo consiguió con este doodle dedicado al 133º aniversario del nacimiento de Noether.

Su trabajo ha sido fundamental en el desarrollo de la física moderna de partículas y campos gracias a estudios que relacionaban la forma de ciertas funciones matemáticas y sus simetrías con algunas constantes importantes en el movimiento de las partículas (energía, momento lineal angular y otras).

Y por si el aspecto académico no fuese suficiente hay que añadir unos detalles que dan a su vida una dimensión épica: era mujer en el comienzo del s. XX y judía en los años 30 en Alemania.

Empecemos por la parte épica.

En los inicios de su carrera allá por finales del siglo XIX tuvo que sufrir la discriminación por ser mujer. A pesar de provenir de una saga de matemáticos renombrados no pudo matricularse en la Universidad de Erlangen-Nüremberg pero cursó la carrera de matemáticas  acudiendo como oyente a clases, siempre que contase con el permiso del profesor que la impartía. Posteriormente trabajó en esa misma Universidad sin cobrar, con lo que demostró de nuevo ser una adelantada a su época (o sus jefes) formando parte del precariado científico tan en boga hoy en día en España.

Pasados unos pocos años recibió una oferta desde la prestigiosa Universidad de Götinga (referencia mundial en matemáticas y física en esa época). La invitación fue realizada por Hilbert y Klein, eminencias en matemáticas. Pero su intento fue bloqueado por otros profesores de Gotinga, posiblemente menos conocidos por su trabajo hoy en día.

Al final de su vida, en la década de los 30, las leyes promulgadas por el gobierno nazi le impidieron seguir trabajando en las universidades alemanas.

En cuánto a su trabajo matemático tocó varias áreas siendo fundadora de campos como el álgebra abstracta, pero la que conozco mejor entronca con la física de partículas y campos. Fue coetánea de Einstein, y este expresó su admiración por su trabajo y su importancia para la física. El teorema de Noether establece básicamente que toda ley de conservación física está relacionada con una simetría del sistema físico.

Ein?!

Ya se sabía de antes, desde los tiempos de Lagrange (final del s. XVIII) que todo sistema físico se puede describir mediante una fórmula llamada lagrangiano. A grandes rasgos la suma o resta de varios términos expresados en función de la posición y la velocidad de dicho sistema. Estos términos se pueden identificar con tipos de energía. Por ejemplo, el lagrangiano de una partícula sometida a su peso (m·g) es:

 $$L(z,v)=\frac{1}{2}m{v}^2-\mathit{mgz}$$ (siendo z la altura) 

Entonces sobre este lagrangiano aplicamos una ecuación llamada de Euler-Lagrange, compuesta de derivadas, que nos da las ecuaciones del movimiento de esta partícula (lo que antes se conocía como ecuación de Newton).

$$\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_z}\right)=0\to m\frac{d{v}_z}{dt}-\mathit{mg}=0$$

$$\mathrm{ }$$

$$$$

¿Qué simetrías tiene este lagrangiano? ¿Que es una simetría? Contestaré primero a la segunda pregunta.

Si hablamos de simetría tenemos que hablar de transformación. De hecho algo es simétrico respecto de una transformación. Por ejemplo el cuadrado es simétrico o invariante (no cambia) frente a los giros de 90º alrededor de su centro.

En el caso del lagrangiano anterior, la fórmula es invariante frente a traslaciones en el tiempo, o en la coordenada x. Si sustituyo x por (x + 5), la fórmula sigue exactamente igual. Básicamente porque x no aparecen en la fórmula. No es invariante frente a traslaciones en z, es decir, si cambio z por (z + 5) la fórmula cambia. Y Noether nos dice que para este sistema hay varias magnitudes que no cambian:

• La simetría en el tiempo implica la conservación de una magnitud llamada energía,
$$E=\frac{1}{2}{\mathit{m·v}}^2+\mathit{m·g·z}$$
• La simetría en x implica la conservación de la componente x de la magnitud momento
$$p_x=m·v_x$$
• La simetría en y implica la conservación de la componente y de la magnitud momento
$$p_y=m·v_y$$
• Sin embargo, la tercera componente del momento no se conserva, por eso la velocidad vertical no vale siempre lo mismo. 

Ahora un lagrangiano un pelín más complicado: el del módelo estandar. Es decir, el lagrangiano del cuál salen las ecuaciones que gobiernan todos los campos conocidos salvo la gravitación (electrones, quarks, fotones, gluones, Higss y otros).

Para saber más:

La belle physique: Mecánica clásica: formulación lagrangiana