El Covid, las vacunas y la probabilidad condicionada

Actualmente (finales de noviembre) está vacunada el 80% de la población española aproximadamente. Por otro lado de todos los contagios que se producen hoy, el 60% de los contagiados no estaban vacunados. Si solo nos fijamos en el último dato parece que todo está muy igualado entre vacunados y no vacunados. Pero NO es así. 

A los estudiantes de 2º de bachillerato se les puede explicar usando unas fórmulas inventadas hace 3 siglos por un médico inglés llamado Bayes que relacionó síntomas de enfermedades y su diagnóstico mediante la probabilidad.

Para todos los demás usaremos la probabilidad condicionada. Es decir, calculamos la probabilidad de que suceda algo SI estamos dentro de un grupo que cumple una condición. Por ejemplo, probabilidad de NO estar vacunado SI nos hemos contagiado, Nos quedamos SOLO con los contagiados y vemos que el porcentaje de los NO vacunados es 60%

P(No vacunado SI contagiado) = 60%

P(Vacunado SI contagiado) = 40%, o sea lo que queda hasta el 100% de contagiados

La probabilidad siempre se puede ver como una división de los casos que cumplen la apuesta entre el total de casos. Si tiramos un dado la probabilidad de sacar menos de 3 es 2/6, "2" porque sale 1 o 2 y gano la apuesta entre 6 posibles resultados en total.

Aplicamos lo mismo a las probabilidades de antes

P(No vacunado SI contagiado) = P(NO Vacunado Y Contagiado)/P(Contagiado) = 60%

Por lo tanto, P(NO Vacunado Y Contagiado) = 60%·P(Contagiado)

haciendo lo mismo en el otro caso, 

P(Vacunado Y Contagiado) = 40%·P(Contagiado)

Vamos a darle la vuelta a esto. calculamos cuánta gente se contagia dentro de los que están vacunados: 

 

Por lo tanto, la probabilidad de contagiarse si NO estas vacunado es 6 veces mayor que si estás vacunado.

Todo este análisis es muy básico y no entra en la cuestión de que muchos de los contagiados estando vacunados es población especialmente vulnerable (mayores o con patologías previas), pero nos da una idea aproximada de cuánto más peligroso es no vacunarse en comparación con la vacunación. Todo ello sin entrar en la diferencia de gravedad de la enfermedad en un caso y en el otro. De hecho, ahora mismo en las UCIs de todos los ingresados por Covid-19 el 80% NO están vacunados, lo que revela cuánto peor es la evolución de la enfermedad en los no vacunados.

Más información:

La efectividad vacunal, los vacunados hospitalizados y la paradoja de Simpson

Seis de cada diez ingresados en UCI por coronavirus están sin vacunar 

Más del 60% de los hospitalizados en planta por covid son personas no vacunadas 

Madrid avisa que el 80% de los hospitalizados son no vacunados y descarta restricciones en Navidad

El 80% de los ingresados en UCI por COVID no están vacunados

Epidemia de Fibonacci

Una sucesión es una lista de números. Tiene un primer elemento pero no tiene último número ya que continua indefinidamente. La sucesión de Fibonacci es  esta lista

 1,1,2,3,5,8.13.21,34,55,....

Hay varias formas de construir una sucesión. En este caso usamos dos términos anteriores sumados para calcular el término siguiente.

O sea una fórmula de recurrencia: a_n = a_n-1 + a_n-2

Dónde a₀ = 1 y a₁ = 1 son las semillas o condiciones iniciales

Si dibujamos esta serie en una gráfica vemos un crecimiento explosivo, o en palabras matemáticas exponencial




Cuando Fibonacci inventó su sucesión, la historia que había detrás justificando esta fórmula hablaba de un par de conejos y sus crías. Una auténtica plaga, no es ninguna tontería, preguntádselo a los australianos.

Pero ahora lo podemos actualizar a una historia vírica. La sucesión puede contar el número de contagiados así que empezamos con un contagiado el día 1, tras el periodo de incubación y con la suficiente carga viral el día 3 contagia a otra persona (ya son dos), luego el paciente 1 contagia a otra persona mientras el dos todavía está incubando (ya son 3) y así sucesivamente.

Y este comportamiento de reacción en cadena es el que nos da el comportamiento y el gráfico exponencial

¿Y donde está la típica fórmula exponencial a^x?
Vamos a suponer que la fórmula es  dónde no conocemos k y sustituimos en la fórmula  

a_n = a_n-1 + a_n-2

Y nos da la ecuación característica kⁿ = k^n-1 + k^n-2

kⁿ ➖ k^n-1 ➖ k^n-2 = 0

k^n-2( k² ➖ k ➖ 1) = 0

Las soluciones de esta ecuación  de 2º grado son: k ≅ 1,618  k ≅➖ 0,618

Al final, la fórmula que nos da la lista de números de arriba es una suma de estas dos opciones, y así nos aparece la exponencial

a_n = 0,724·1,618ⁿ + 0,276·(➖ 0,618)ⁿ

IMPORTANTE: quién se lea y entienda esto que no crea ahora que es un experto en epidemiología o virología. Este es lo que se llama un modelo de juguete (toy model)   que aunque ilustra algún aspecto particular (como la propagación exponencial) es demasiado sencillo para reflejar varias facetas de la realidad. Por ejemplo, en este caso los pacientes no dejan nunca de ser contagiosos

Ahora sabemos que en las epidemias víricas existe un número que mide la cantidad media que se contagia a partir de un contagiado en cada generación, llamado número de reproducción R que nos dice cuántas personas (de media) puede contagiar un individuo tras el periodo de incubación. Como este es un modelo MUY sencillo tenemos un primer error en que un contagiado no deja de ser contagioso nunca.

Lo que si podemos introducir en un número que cuantifique a cuanta gente se contagia en cada nueva generación. Y eso es lo que veremos en la próxima entrada.

Otros comportamientos exponenciales como en las burbujas y las crisis se ven en:

•  Darwin y Malthus (2): la burbuja demográfica y la crisis ecológica
    

Regulación de precios (de mascarillas)

Los precios de las mascarillas que ya son un bien de primera necesidad en estos tiempos del coronavirus, están alcanzando unos precios desproporcionados y claramente entrando en la burbuja especulativa. Por eso ya hay voces que abogan por una regulación del mercado y un control de los precios, y el origen de algunas de estas voces sorprende porque en otros tiempos defendían medidas más típicas del neoliberalismo.

Lo malo es que quienes estamos a favor de un mercado regulado y más controlado sabemos que hay do peligros que acechan siempre: el mercado negro y el desabastecimiento.

El mercado negro es un problema que muchas veces es casi imposible de evitar, a menos que tengamos un mercado totalmente desregulado (algunos llaman libre a esto, pero no es cierto) y sin impuestos, pero en ese caso el mercado es 100% negro.

La primera decisión tiene que ser intentar controlar  los canales de producción y distribución, e imponer medidas coercitivas. Esto puede ser más fácil o difícil dependiendo del sector. En este caso seguramente no seería tan dificil como en otros porque uno de los canales principales son las farmacias que es más fiable que otros. Pero aún así, seguramente habría que asumir un pequeño porcentajede mercado negro por un criterio de eficiencia. Ocurre como en los grandes almacenes en los que se intenta evitar el robo, si quieres reducir los robos a 0 saldría más caro el sistema de vigilancia que asumir un pequeño porcentaje de perdidas por robos.  El tamaño de ese porcentaje dependería de en que momento se igualaría coste con perdidas.

Por otro lado, suponiendo que hubiesemos alcanzado ese mínimo de mercado negro, aún tendríamos el problema del desabastecimiento. En un mercado internacional que ya vemos como funciona, los proveedores que quisieran comprar fuera y luego vender en España tendrían el problema de comprar a precios especulativos para vender a precios controlados, así que seguramente no comprarían. Salvo el Estado que podría asumir las perdidas pero para ciertos casos y con ciertos límites.

Por lo tanto, para evitar el desabatecimiento no queda más remedio que tenr una producción propia suficientemente grande, y asegurando los canales de distribución paa que no haya desviaciones importantes. Y siempre la administración podría distribuir mascarillas (como ya se ha hecho en los medios públicos de transporte) no solo por cuestiones de salud pública, sino para tener otra medida con la que mantener los precios controlados gracias a la disminución de la demanda.

Pero seguro que habrá alguién que sepa de esto y que ya lo haya tenido todo en cuenta, porque el problema es complicado.