Hace unos días un compañero del departamento de matemáticas estaba intentando calcular con una hoja de cálculo el resultado de 2^64 para acompañar la leyenda del premio que ofrecio un rey al creador del ajedrez. Y se encontró con la sorpresa de que la hoja de cálculo que estaba usando da un resultado incorrecto.Veamos paso a paso las distintas facetas de esta historia.
Primero, la leyenda ilustradora. Un rey de la India tuvo a bien querer agradecer a un súbdito el invento d un juego de tablero que le tenía totalmente absorbido y entusiasmado: el ajedrez. Así que decidió hecerle un obsequio. Y tan agradecido estaba que le dijo a este sabio que pidiese lo que quisiese ya que era un rey muy rico y poderoso (y así, ya de paso presumía de ser rico, poderoso y generoso). En esto que el sabio le pidió algo que le pareció al rey poquita cosa: "Soy un hombre de necesidades limitadas, me conformo con que me des 1 grano de arroz por el primer escaque del tablero 2 por el segundo, 4 por el tercero y así hasta llegar al número 64". Seguramente el rey encargo este calculo a sus contables y la conclusión fue sorprendente, al menos para el rey y sus contables. No había suficiente arroz en todo el reino. Ni siquiera hay suficiente arroz en todo el mundo hoy en día para satisfacer la demanda del sabio del ajedres ya que el número de granos necesario es de 18,446,744,073,709,551,616. Suponiendo que cada grano pese unos 0,026 g necesitaríamos 494.378.475.966 toneladas, mientras que la producción mundial actual es de 481 millones de
toneladas/año.
Segundo, ¿cómo nos damos cuenta de que la hoja de cálculo da un resultado incorrecto? Muy fácil. Si nos fijamos en los resultados de la primera columna en la que se expone el resultado de elevar 2 a los distintos números naturales. Nos fijamos en la cifra de la unidades y vemios que las potencias de 2 van pasando por este ciclo 2, 4, 8, 6, 2, ... y vuelta a empezar. Pero en la columna nombrada esto se cumple hasta la fila 49 y a partir de ahí la cifra de las unidades se convierte en 0 para siempre. Esto es falta de precisión en los cálculo del programa no es que las matemáticas de multiplicar por 2 hayan cambiado.
Tercero, ¿y porqué no funciona la hoja de cálculo a partir de esa fila? El número entero mayor que se puede manejar en las hojas de calculo actuales sin aproximaciones ni redondeos es 10^15. Más allá podemos usar potencias de 10 dando el número como el producto de un número con esta precisión y el exponente de una potencia de 10 de la siguiente forma 9,999999999999999 x10^n, de esta manera el tamaño del número es casi inacabable, pero la cantidad de cifras significativas sigue siendo como mucho 15 cifras.
Cuarto y final, ¿cómo se puede hacer esta cuenta de forma exacta en una hoja de cálculo? Muy fácil, volviendo a usar lo que aprendimos en primaria: la multiplicación con llevadas. Tenemos dos columnas una para "unidades" y otra para "decenas" siendo estas números inferiores a 10^15 (en este caso he puesto como límite 10^12, es decir, un númreo de 12 cifras). Cuando se sobrepasa ese límite se corta el número a 12 cifras y se "lleva" 1 a las "decenas" sumándolo. Como mucho la llevada puede ser de +1 ya que para pasar de un número al siguiente multiplicamos el anterior por 2 (2x9 = 18). Desupés se forma el número resultado concatenando (uniendo) las dos columnas, primero las "decenas" y luego las "unidades" para dar 18,446,744,073,709,551,616.
Ver más:
Potencias de 2 (hoja de calculo libreoffice)
Potencias de 2 (archivo pdf)
Números enteros en los lenguajes de programación
Aquí vamos a meternos en las tripas de los programas y
de los ordenadores. Ya sabemos que los ordenadores realizan los cálculos
en código binario, por ejemplo el número 10 se expresaria como 10100 =
1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 0·2^0. Se usa este formato por que cada 1 y cada
0 es una posición de memoria que solo puede tener 2 estados: encendida o
apagada. Por eso tenemos varios tamaños de números enteros y con
precisión perfecta pero tamaño limitado. la lista con los distintos
tipos de números usados en los lenguak¡jes de programacion como Free Pascal empezaría con el byte que se compone de 8 cifras binarias y alcanza el valor máximo de 2^8 - 1 = 255, word con 16 bits y tamaño máximo 65535, longword con 32 bits y tamaño máximo 4,294,967,295.
Ordinal type in Free Pascal
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jueves, 4 de agosto de 2016
martes, 7 de junio de 2016
Parábolas por todas partes
De la primera porque el otro día, viendo en la televisión un documental sobre ciencia aplicada a situaciones cotidianas, surgió que las pelotas y los jugadores de baloncesto trazan parábolas cuando están en el aire. Como mi hija está dando en estos momentos las funciones cuadráticas, cuyas gráficas son parábolas, dijo entre sorprendida y asustada: "¡Están por todas partes!". Unos días más tarde volvieron a aparecer al describir en una noticia la trayectoria que sigue un avión de las pruebas de gravedad 0 para los astronautas de la E.S.A., y sí esta trayectoria es aproximadamente parabólica durante el tiempo que se experimenta la gravedad 0.
Por otro lado Cervantes dando uns lista de los conocimientos necesarios para la ciencia de los caballeros andantes incluyo esta referencia a las matemáticas en "El ingenioso hidalgo Don Quijote de La Mancha" 2ª parte Capítulo XVIII "Es una ciencia —replicó don Quijote— que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo...,ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas"
Y sí, es verdad, las parábolas, y en general, las matemáticas están por todas partes y tendremos necesidad de ellas a cada paso.
viernes, 6 de noviembre de 2015
Más gráficas insinuantes o insinuosas y el fracaso escolar
Un clásico de ayer y hoy en esta página son las gráficas que insinúan cosas que no son, aunque no mientan claramente solo falten al respeto por la verdad pero de una forma suave. Son una herramienta muy empleada por algunas personas de ciertas empresas y partidos. En este caso nos referimos a este tuit del PP sobre el abandono escolar.
El famoso abandono escolar temprano que ahora tanto nos preocupa se refiere al porcentaje de personas de entre 18 y 24 años que no han cursado estudios post-obligatorios (bachillerato o FP de grado medio) conformándose, por gusto o por necesidad, con el título de la ESO. Aunque en España se mezcla con el concepto de fracaso escolar que añade las personas que no han finalizado la ESO abandonándola en 2º de la ESO.
Como ya se ha dicho aquí en muchas ocasiones la gráfica puede ser correcta, si lo son los datos estadísticos en los que se basa, pero lo que insinúa es que el problema ya ha desaparecido produciéndose un descenso milagroso en los últimos 4 años. Pero en realidad lo único que se ha hecho ha sido colocar el eje horizontal a altura 20, en lugar de ponerlo a altura 0. ¡Qué feo! Aunque seguro que ha sido un despiste sin mala intención.
Por otro lado, según dice este artículo Méndez de Vigo atribuye a la LOMCE y la FP la bajada de seis puntos del abandono escolar en cuatro años, hasta el 20,3% lo que convertiría a la LOMCE no en una buena ley educativa, sino en una ley extraordinaria hasta extremos inimaginables resolviendo un problema grave años antes de entrar en vigor.
¿Por qué? Pues porque la LOMCE ha empezado a funcionar este año en 1º y 3º de la ESO y la FP básica ha sido este curso 2015-16 el primero en el que se puede seguir en los institutos que la ofrecen. Es verdad que la LOMCE empezó a aplicarse el curso pasado en algunos cursos de primaria (los impares) pero incluso así ya habría fomentado el descenso del fracaso escolar con, al menos, 2 años de adelanto.
Por otro lado, el descenso del abandono escolar lleva varios años produciéndose curiosamente con gran intensidad, sobre todo en las comunidades autónomas que en su momento pudieron disfrutar más y mejor la maravillosa burbuja inmobiliaria. Algo de esto cuentan en el articulo Abandono educativo, origen social y crisis económica.
Aquí otra gráfica de años anteriores.
Como decían en aquella serie "Tengan mucho cuidado ahí fuera".
Otros enlaces relacionados:
El increíble gráfico menguante del PP - Eldiario.es
El abandono escolar temprano baja del 18,3 por ciento al 16 en la Comunidad de Madrid
El abandono escolar prematuro baja al 22,3 por ciento (2014)
El abandono escolar temprano en mujeres baja al 16,1 y se acerca al objetivo de España para 2020 del 15
El famoso abandono escolar temprano que ahora tanto nos preocupa se refiere al porcentaje de personas de entre 18 y 24 años que no han cursado estudios post-obligatorios (bachillerato o FP de grado medio) conformándose, por gusto o por necesidad, con el título de la ESO. Aunque en España se mezcla con el concepto de fracaso escolar que añade las personas que no han finalizado la ESO abandonándola en 2º de la ESO.
Como ya se ha dicho aquí en muchas ocasiones la gráfica puede ser correcta, si lo son los datos estadísticos en los que se basa, pero lo que insinúa es que el problema ya ha desaparecido produciéndose un descenso milagroso en los últimos 4 años. Pero en realidad lo único que se ha hecho ha sido colocar el eje horizontal a altura 20, en lugar de ponerlo a altura 0. ¡Qué feo! Aunque seguro que ha sido un despiste sin mala intención.
Por otro lado, según dice este artículo Méndez de Vigo atribuye a la LOMCE y la FP la bajada de seis puntos del abandono escolar en cuatro años, hasta el 20,3% lo que convertiría a la LOMCE no en una buena ley educativa, sino en una ley extraordinaria hasta extremos inimaginables resolviendo un problema grave años antes de entrar en vigor.
¿Por qué? Pues porque la LOMCE ha empezado a funcionar este año en 1º y 3º de la ESO y la FP básica ha sido este curso 2015-16 el primero en el que se puede seguir en los institutos que la ofrecen. Es verdad que la LOMCE empezó a aplicarse el curso pasado en algunos cursos de primaria (los impares) pero incluso así ya habría fomentado el descenso del fracaso escolar con, al menos, 2 años de adelanto.
Por otro lado, el descenso del abandono escolar lleva varios años produciéndose curiosamente con gran intensidad, sobre todo en las comunidades autónomas que en su momento pudieron disfrutar más y mejor la maravillosa burbuja inmobiliaria. Algo de esto cuentan en el articulo Abandono educativo, origen social y crisis económica.
Aquí otra gráfica de años anteriores.
Como decían en aquella serie "Tengan mucho cuidado ahí fuera".
Otros enlaces relacionados:
El increíble gráfico menguante del PP - Eldiario.es
El abandono escolar temprano baja del 18,3 por ciento al 16 en la Comunidad de Madrid
El abandono escolar prematuro baja al 22,3 por ciento (2014)
El abandono escolar temprano en mujeres baja al 16,1 y se acerca al objetivo de España para 2020 del 15
lunes, 22 de diciembre de 2014
Si compras un décimo en Madrid es más probable que te toque el Gordo
El título de la entrada es una frase escuchada hoy en una de las innumerables y aburridas noticias sobre el sorteo de la lotería de navidad. Depende de quién sea el gordo que te toque, pero si es el de la lotería lamento discrepar.
Todos sabemos, salvo la persona que dijo esto, que si compras un décimo siempre tienes las mismas probabilidades de que te toque independientemente del lugar en el que lo compres. Con la evidente excepción del Bar Antonio.
¿En que supuestos datos se basaron para decir esta falsedad matemática?
En Madrid ha tocado el gordo en 75 ocasiones (mucho más que en otros sitios). Por lo tanto si compró en Madrid es más probable que me toque ¡Mentira! Es más probable que toque en Madrid porque se vende más que en otros sitios, Pero como esa probabilidad se reparte entre más gente que compra en Madrid, al final la probabilidad para cada décimo es la misma. Como no podía ser de otra manera.
Buenas fiestas, y buen cumpleaños de Jesús, Newton y Bogart (por orden de supuesta aparición).
Todos sabemos, salvo la persona que dijo esto, que si compras un décimo siempre tienes las mismas probabilidades de que te toque independientemente del lugar en el que lo compres. Con la evidente excepción del Bar Antonio.
¿En que supuestos datos se basaron para decir esta falsedad matemática?
En Madrid ha tocado el gordo en 75 ocasiones (mucho más que en otros sitios). Por lo tanto si compró en Madrid es más probable que me toque ¡Mentira! Es más probable que toque en Madrid porque se vende más que en otros sitios, Pero como esa probabilidad se reparte entre más gente que compra en Madrid, al final la probabilidad para cada décimo es la misma. Como no podía ser de otra manera.
Buenas fiestas, y buen cumpleaños de Jesús, Newton y Bogart (por orden de supuesta aparición).
sábado, 20 de julio de 2013
Exámenes resueltos de 3º ESO
Pues para mis alumnas y alumnos que suspendieron en junio y que espero que se estén preparando para el examen de septiembre, aquí dejó algunos exámenes resueltos de los que hemos hecho durante el pasado curso:
Ecuaciones 2º grado
Ecuaciones 2º grado y radicales
Geometria 3D
Global 1
Global 2
Global 3
Notación científica y ecuaciones de primer grado
Sistemas de ecuaciones
Próximamente más. Permanezcan atentos a sus monitores.
Ánimo y suerte.
Ecuaciones 2º grado
Ecuaciones 2º grado y radicales
Geometria 3D
Global 1
Global 2
Global 3
Notación científica y ecuaciones de primer grado
Sistemas de ecuaciones
Próximamente más. Permanezcan atentos a sus monitores.
Ánimo y suerte.
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