Las potencias de 2 y la precisión de las hojas de cálculo

Hace unos días un compañero del departamento de matemáticas estaba intentando calcular con una hoja de cálculo el resultado de 2^64 para acompañar la leyenda del premio que ofrecio un rey al creador del ajedrez. Y se encontró con la sorpresa de que la hoja de cálculo que estaba usando da un resultado incorrecto.Veamos paso a paso las distintas facetas de esta historia.

Primero, la leyenda ilustradora. Un rey de la India tuvo a bien querer agradecer a un súbdito el invento d  un juego de tablero que le tenía totalmente absorbido y entusiasmado: el ajedrez. Así que decidió hecerle un obsequio. Y tan agradecido estaba que le dijo a este sabio que pidiese lo que quisiese ya que era un rey muy rico y poderoso (y así,  ya de paso presumía de ser rico, poderoso y generoso). En esto que el sabio le pidió algo que le pareció al rey poquita cosa: "Soy un hombre de necesidades limitadas, me conformo con que me des 1 grano de arroz por el primer escaque del tablero 2 por el segundo, 4 por el tercero y así hasta llegar al número 64". Seguramente el rey encargo este calculo a sus contables y la conclusión fue sorprendente, al menos para el rey y sus contables. No había suficiente arroz en todo el reino. Ni siquiera hay suficiente arroz en todo el mundo hoy en día para satisfacer la demanda del sabio del ajedres ya que el número de granos necesario es de 18,446,744,073,709,551,616. Suponiendo que cada grano pese unos 0,026 g necesitaríamos 494.378.475.966 toneladas, mientras que la producción mundial actual es de 481 millones de toneladas/año.

Segundo, ¿cómo nos damos cuenta de que la hoja de cálculo da un resultado incorrecto? Muy fácil. Si nos fijamos en los resultados de la primera columna en la que se expone el resultado de elevar 2 a los distintos números naturales. Nos fijamos en la cifra de la unidades y vemios que las potencias de 2 van pasando por este ciclo 2, 4, 8, 6, 2, ... y vuelta a empezar. Pero en la columna nombrada esto se cumple hasta la fila 49 y a partir de ahí la cifra de las  unidades se convierte en 0 para siempre. Esto es falta de precisión en los cálculo del programa no es que las matemáticas de multiplicar por 2 hayan cambiado.

Tercero, ¿y porqué no funciona la hoja de cálculo a partir de esa fila?  El número entero mayor que se puede manejar en las hojas de calculo actuales sin aproximaciones ni redondeos es 10^15. Más allá podemos usar potencias de 10 dando el número como el producto de un número con esta precisión y el exponente de una potencia de 10 de la siguiente forma 9,999999999999999 x10^n, de esta manera el tamaño del número es casi inacabable, pero la cantidad de cifras significativas sigue siendo como mucho 15 cifras.

Cuarto y final, ¿cómo se puede hacer esta cuenta de forma exacta en una hoja de cálculo?  Muy fácil, volviendo a usar lo que aprendimos en primaria: la multiplicación con llevadas. Tenemos dos columnas una para "unidades" y otra para "decenas" siendo estas números inferiores a 10^15 (en este caso he puesto como límite 10^12, es decir, un númreo de 12 cifras). Cuando se sobrepasa ese límite se corta el número a 12 cifras y se "lleva" 1 a las "decenas" sumándolo. Como mucho la llevada puede ser de +1 ya que para pasar de un número al siguiente multiplicamos el anterior por 2 (2x9 = 18). Desupés se forma el número resultado concatenando (uniendo) las dos columnas, primero las "decenas" y luego las "unidades" para dar 18,446,744,073,709,551,616.

Ver más:

Potencias de 2 (hoja de calculo libreoffice) 
Potencias de 2 (archivo pdf)


Números enteros en los lenguajes de programación 

Aquí vamos a meternos en las tripas de los programas y de los ordenadores. Ya sabemos que los ordenadores realizan los cálculos en código binario, por ejemplo el número 10 se expresaria como 10100 = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 0·2^0. Se usa este formato por que cada 1 y cada 0 es una posición de memoria que solo puede tener 2 estados: encendida o apagada. Por eso tenemos varios tamaños de números enteros y con precisión perfecta pero tamaño limitado. la lista con los distintos tipos de números usados en los lenguak¡jes de programacion como Free Pascal empezaría con el byte que se compone de 8 cifras binarias y alcanza el valor máximo de 2^8 - 1 = 255, word con 16 bits y tamaño máximo 65535, longword con 32 bits y tamaño máximo 4,294,967,295.

Ordinal type in Free Pascal

Parábolas por todas partes

La idea de esta entrada tengo que agradecérsela a mi hija mayor y a Cervantes.

De la primera porque el otro día, viendo en la televisión un documental sobre ciencia aplicada a situaciones cotidianas, surgió que las pelotas y los jugadores de baloncesto trazan parábolas cuando están en el aire. Como mi hija está dando en estos momentos las funciones cuadráticas, cuyas gráficas son parábolas, dijo entre sorprendida y asustada: "¡Están por todas partes!". Unos días más tarde volvieron a aparecer al describir en una noticia la trayectoria que sigue un avión de las pruebas de gravedad 0 para los astronautas de la E.S.A., y sí esta trayectoria es aproximadamente parabólica durante el tiempo que se experimenta la gravedad 0.

Por otro lado Cervantes dando uns lista de los conocimientos necesarios para la ciencia de los caballeros andantes incluyo esta referencia a las matemáticas en "El ingenioso hidalgo Don Quijote de La Mancha" 2ª parte Capítulo XVIII "Es una ciencia —replicó don Quijote— que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo...,ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas"

Y sí, es verdad, las parábolas, y en general, las matemáticas están por todas partes y tendremos necesidad de ellas a cada paso.

En concreto las parábolas aparecerán por todas partes siempre que estemos en un campo gravitatorio constante ya que en estas condiciones cualquier objeto que lancemos seguirán una trayectoria aproximadamente parabólica si la velocidad de lanzamiento es baja.  No son fáciles de ver a menos que podamos ver la huella de las posiciones por la que pasa usando fotografía estroboscópica, o mejor, mirando la trayectoria de un chorro de agua que dibuja casi perfectamente una parábola. Varias si tenemos varios chorros saliendo con distinta velocidad de los surtidores.

Si compras un décimo en Madrid es más probable que te toque el Gordo

El título de la entrada es una frase escuchada hoy en una de las innumerables y aburridas noticias sobre el sorteo de la lotería de navidad. Depende de quién sea el gordo que te toque, pero si es el de la lotería lamento discrepar.

Todos sabemos, salvo la persona que dijo esto, que si compras un décimo siempre tienes las mismas probabilidades de que te toque independientemente del lugar en el que lo compres. Con la evidente excepción del Bar Antonio.

¿En que supuestos datos se basaron para decir esta falsedad matemática?

En Madrid ha tocado el gordo en 75 ocasiones (mucho más que en otros sitios). Por lo tanto si compró en Madrid es más probable que me toque ¡Mentira! Es más probable que toque en Madrid porque se vende más que en otros sitios, Pero como esa probabilidad se reparte entre más gente que compra en Madrid, al final la probabilidad para cada décimo es la misma. Como no podía ser de otra manera.

Buenas fiestas, y buen cumpleaños de Jesús, Newton y Bogart (por orden de supuesta aparición).

¿0,5 es lo mismo que 0,33?

Hoy va ser una entradita fácil, al menos, en lo matemático. En otras cosas quizás no.

Pascual Serrano en su interesante Perlas informativas sección de Eldiario.es señala un curioso error matemático en un artículo de El País:

Dice  El País el 7 de junio que, según una encuesta, "casi la mitad [de los encuestados] el 34%, está en contra" de un referéndum sobre la monarquía. ¿34% es casi la mitad? Pues a mí me parece que eso es un tercio.

Pues tiene razón Pascual Serrano. Un porcentaje no es nada más que una forma rara y cómoda de escribir un tipo de fracción. Su utilidad consiste en que todos los porcentajes tienen el mismo denominador, lo que hace que las comparaciones entre porcentajes sean más sencillas que entre fracciones generales. Solo una salvedad, en los porcentajes se admiten decimales y en el numerador de las fracciones, no.

Con el caso anterior:

50% = 50/100 = 1/2 = 1:2 = 0,5 

34% = 34/100 = 0,34

O sea 50% , 50 de cada 100 es lo mismo que 1 de cada 2. Ahí es ná.

Un tercio sería 1/3 = 1: 3 = 0,333333... cero coma tres periódico.

Evidentemente 1/3 está más cerca de 34% que de 50% mal que le pese al autor del artículo de El País.

Matemáticas de alto nivel (2º ESO)  para los ilustrados editores de los medios.

Porcentajes y medicina

Ayer encontré en una revista un interesante reportaje sobre un análisis genético que permite detectar en el feto trisomías (anomalías cromosómicas) con una simple extracción de sangre de la madre. Esto es una moderna alternativa a la actual amniocentesis, un procedimiento más arriesgado ya que existe un riesgo de aborto del 1%.

 Se puede acceder al artículo completo a través de este enlace: ¿Análisis o amniocentesis?

El reportaje está muy bien, pero (siempre hay un pero) en medio de él se podía leer esto:

Según explica el doctor Izquierdo, “solo en una de cada 50 mujeres que van a una prueba invasiva se encuentra algún problema. El 49% restante se ha sometido a una amniocentesis innecesaria”.

¿49 de 50 es el 49%? ¿No os parece demasiado poco? Un 49% no llega a la mitad, y sin embargo 49 de 50 es una proporción muy alta. En realidad el porcentaje correcto correspondiente a 49 de 50 es 98%, y no 49%. Echemos cuentas mediante fracciones:

$\frac{49}{50}=\frac{2·49}{2·50}=\frac{98}{100}=\mathrm{98\%}$

Aquí se ha usado fracciones equivalentes y el hecho de que, al fin y al cabo, un porcentaje no es más que una fracción con denominador fijo e igual a 100.

Evidentemente la intuición es muy distinta. Un porcentaje del 98% es casi la totalidad, mientras que 49% es solo la mitad.

Pensiones y más porcentajes encadenados

En estos momentos en España se está debatiendo el cambio, mejor dicho, se está cambiando el sistema público de pensiones. Según los que pretenden reformarlo, porque es insostenible, aunque a veces parece que sencillamente se desmonta para dar oportunidad de negocio a otros elementos en este mercado.

En esta reforma se ha planteado la posibilidad de aumentar las pensiones como mínimo un 0,25%, lo que se presenta como un gran avance ya que hace unos años las pensiones quedaron congeladas (sin subida), debido a la crisis. Así visto, mejor una subida en un año del  0,25% que un 0%. Pero, ¿realmente es tan bueno? Si uno toma un solo año sí, pero vamos a tomar un  periodo más largo para comparar y no quedarnos en lo obvio.

Escojamos el periodo 2009 2011, ya inmersos en la crisis y coronado por la congelación del 2011. Los incrementos de las pensiones en ese periodo fueron:

• 2009: 2,4%
• 2010: 1,3%
• 2011:    0%

¿Qué subida total hubo con estos porcentajes anuales y de cuánto sería si el porcentaje hubiese sido todos los años de 0,25%?

$\begin{array}{c}\mathit{subida }\mathit{con }\mathit{variaciones}=\left(1+\frac{\mathrm{2,4}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{1,3}}{100}\right)\left(1+\frac{0}{100}\right)=\mathrm{1,037312}\\ \mathit{subida} \mathit{constante }\mathit{de }\mathrm{0,25}\% \mathit{anual}=\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)=\mathrm{1,007518766}\end{array}$

A pesar de la congelación del 2011, los 100 € de 2008 serían 103,73 € en 2012, mientras que después de tres subidas idénticas de 0,25% los 100 € se habrían convertido en 100,75 €.

¿Cuál sería el porcentaje anual medio de aumento en el primer caso?
Parece fácil: se suma los porcentajes y se divide entre 3, y ya está. Pues no, existen muchos tipos de medias y esta no es la correcta en este caso, aunque la diferencia entre este cálculo erróneo y el correcto es muy pequeña esta vez.

La media aritmética cumple la fórmula relacionada con la suma:

$\mathit{media }\mathit{aritmética}=\frac{a+b+c}{3}$

Mientras que la media correcta en este caso, la media geométrica está más relacionada con la multiplicación de varios factores que es justo lo que nos interesa cuando trabajamos con porcentajes encadenados

$\mathit{media} \mathit{geométrica}=\sqrt[3]{a·b·c}$

Aplicándolo a este caso, nos queda que en los años 2009-2011 la subida total equivale a una subida media anual de 1,2%:

$\sqrt[3]{\left(1+\frac{\mathrm{2,4}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{1,3}}{100}\right)\left(1+\frac{0}{100}\right)}=\sqrt[3]{\mathrm{1,024}·\mathrm{1,013}·1}=\mathrm{1,012285775}\approx \mathrm{1,012}$

Es decir, mayor que 0,25% a pesar de la congelación de 2011. Eso sí, esa subida del 1,2% fue probablemente inferior a la inflación. Y a partir de ahora será aún menor. 

Noticias sobre las subidas de las pensiones en el periodo 2009-2011:

• La subida de la pensiones para 2008, las cuales se revalorizarán entre el 4,1 y el 6,5%.
• Las pensiones suben desde enero entre un 2,4 por 100 y un 7,2 por 100
• El Gobierno aprueba una subida del 1,3% para todas las pensiones y el salario mínimo
• Congelación de pensiones 2011

Los porcentajes que nos encadenan

Hoy una entrada sobre algo relativamente sencillo (de 2º de la E.S.O.) pero que su desconocimiento nos puede encadenar a la confusión. Tomemos como ejemplo una noticia de Madrid del 18 de julio de 2013: Las tasas universitarias suben otro 20%, tras el 38% de 2012.

Si ahora preguntásemos por la calle, cuánto ha sido el incremento en estos dos años, habría personas que dirían: "Vamos a ver, 20% de un año y 38% del otro, sumamos y nos da ¡58%!". No es pequeña la subida, pero realmente la cosa es peor; la subida es de 65,6% ¿Por qué? Intentaré explicar la cuenta, que no las razones de la subida que son inexplicables.

Si algo cuesta en 2011 100 € tras la subida de 2012 costaría 138 €, es decir, multiplicamos por 1.38 el precio del año anterior.

$P_{2012}=P_{2011}·\left(1+\frac{38}{100}\right)=P_{2011}·1.38$

$\mathrm{ }$
Pero si ahora aplicamos la subida de 2013 (20%)  no sería sobre 100 €, sino sobre 138 €, por tanto, el precio final tiene que ser mayor. Aplicamos de nuevo la misma fórmula aplicada antes multiplicando 138 por 1.20 y nos da 165,6 €. Por tanto, hemos tenido una subida de 65,5 € sobre los 100€ iniciales de 2011. En fórmulas

$P_{2013}=P_{2012}·\left(1+\frac{20}{100}\right)=P_{2011}·\left(1+\frac{38}{100}\right)\left(1+\frac{20}{100}\right)=P_{2011}·1.38·1.20=P_{2011}·1.656$$\mathrm{}$$\mathrm{ }$

Por esta misma razón, cuando se hace una subida del 20% y posteriormente una rebaja del 20% no se recupera el precio original. Debido al aspecto de la fórmula usada y el procedimiento empleado a estos porcentajes se les llama encadenados, dónde cada subida o bajada porcentual sería un eslabón de la cadena. Cadena, algunas veces nada metafórica.