InterStelar: La radiación Hawking

No se si se puede considerar un homenaje a S. Hawking publicar esto cerca del aniversario de su muerte, pero en cualquier caso ya era hora de que volviese sobre las características de los agujeros negros no tratadas en la entrada anterior Las cuentas de InterStellar usando como excusa InterStellar.

Hawking descubrió este fenómeno en 1973 mientras trabajaba con el profesor Penrose. Sus resultados estaban inspirados y formaban parte de la termodinámica de los AN desarrollada entre otros por Bekenstein,  Zel'dovich y Starobinski. Aquí se establece un paralelismo entre los principios de la termodinámica y las propiedades que se conocían de los agujeros negros en rotación de tal manera que se podía asignar una temperatura a los agujeros negros. Pero claro, si la temperatura del agujero negro es superior a la del espacio que le rodea entonces ¡los agujeros negros tienen que emitir calor!

Aprovechándome de que el profesor Hawking demostró rigurosamente por dos métodos distintos la fórmula que asigna una temperatura a un agujero negro,  usaré una historia sobre el vacío y leyes básicas para alcanzarla.

En primer lugar, una onda solo puede ver, detectar e interaccionar con un objeto cuando es mayor que su longitud de onda. Por lo tanto, una onda solo podría ver el agujero negro (y ser absorbida por este) cuando la longitud de onda es menor que el tamaño de agujero negro.

Las ondas con longitud de onda λ mucho mayor que el agujero negro no serán absorbidas por él porque no lo "ven".

Dónde R_s es el radio de Schwarchild

Por otro lado, según la mecánica cuántica un fotón tiene asociada una energía a su longitud de onda dada por la fórmula:

h constante de Planck , ν frecuencia y c velocidad de la luz

Juntando los dos hechos anteriores, los fotones que podrían escapar (no ver)  serán los que tendrían un energía inferior a

Desde la física estadística nos llega la equipartición de la energía que asegura que bajo ciertas condiciones como que haya equilibrio térmico (todo el gas está a la misma temperatura) cada fotón tendrá de media una energía E = kT (en realidad sería 1/2 kT pero para cada frecuencia hay dos polarizaciones) siendo k la constante de Boltzmann.

Otro detalle proveniente de la mecánica cuántica se refiere al inefable principio de incertidumbre según el cual es imposible conocer con exactitud la energía del estado en el que esta nuestro sistema a menos que lo vigilemos continuamente. Es decir, la energía de nuestro sistema bailará alrededor de una energía (fluctuará) y estas fluctuaciones serán tanto mayores cuanto menor sea el tiempo que duren. Esto implica que hasta se podrán crear partículas de la nada si duran muy poquito tiempo. Así que nuestro vacío esta realmente repleto de fotones que aparecen y desaparecen.

Si en este vacío tenemos un agujero negro, algunas de estas partículas del vacío serán absorbidas y otras no, así que nos dará la impresión que del agujero negro (en realidad del vacío que rodea el agujero negro) vienen partículas con una energía asociada a una temperatura. Juntando las dos fórmulas anteriores sobre la energía de estos fotones:

Hawking escribió dos artículos sobre este efecto, en el primero se basó en el análisis de las funciones de onda en un espacio-tiempo curvo de las partículas que interaccionan con un agujero negro, y en otro artículo (matemáticamente muy bonito) usaba una integral 4D con el cambio de variable a tiempo euclídeo (el tiempo como numero imaginarios) y comparaba el resultado con una herramienta de la mecánica estadística llamada función de partición que relaciona la distribución energética por niveles  con la temperatura de un sistema de partículas.

Permanezcan atentos a sus pantallas: la próxima entrega, la curvatura de la luz por un campo gravitatorio.

Las cuentas de Interstellar

El pasado 25 de noviembre se cumplió el primer centenario de la presentación de la Relatividad General en  la Academia Prusiana de Ciencias. Además este año 2015 se ha rendido un homenaje muy interesante a esta teoría a través de la película de ciencia-ficción (con bastante ciencia) "InterStellar".

Las matemáticas que están detrás de la relatividad general se llama cálculo tensorial y geometría diferencial y se aplica en la geometría de las superficies curvas y en la física de fluidos (líquidos y gases). La ecuación principal de la RG es:

Los subíndice i k corren desde 1 hasta 4, es decir, las tres dimensiones espaciales y el tiempo. En total es una ecuación matricial con 16 componentes,es decir, son 16 ecuaciones en las que encontramos segundas derivadas en ecuaciones no lineales, o sea, productos de varias variables.

Aparentemente algo más complicado que la buena y conocida (por algunos) teoría de Newton con sus fuerzas a distancia, su masa y su inercia. Pero la teoría de Newton que sí funciona bastante bien para gravedades débiles y bajas velocidades debe estar dentro, de alguna forma, de la relatividad general.

Gran parte de estos cálculos nos llevarán a fórmulas correctas pero usando métodos matemáticos sencillos basados parcialmente en la física newtoniana, no aplicable a los AN, salvo como primera aproximación. Por suerte un acercamiento más riguroso lleva a las mismas conclusiones. 


El tiempo es relativo.

Estamos acostumbrados a pensar que la duración de los fenómenos no depende del punto de vista. Eso es porque todo lo que conocemos se mueve relativamente despacio. Imaginemos que vamos en la nave de InterStellar y disparamos un láser hacia el techo. Si lo vemos desde dentro de la nave el rayo sube en vertical desde el suelo al techo y las distancia recorrida será h (altura de la nave). Si lo vemos desde un planeta el rayo avanzará inclinado y recorrerá una distancia mayor que antes.

En otros tiempos habríamos pensado que el tiempo transcurrido en ambos escenarios era el mismo, pero ahora sabemos gracias al experimento de Michelson-Morley (1887) que lo que no cambia en los dos casos es la velocidad de la luz c.

Por lo tanto si la velocidad es constante y la distancia recorrida es mayor desde el punto de vista del planeta, entonces el rayo de luz tarda más tiempo en alcanzar el techo si lo miramos desde el planeta que si lo vemos desde un asiento en la nave. Y lo mismo pasa con cualquier otro fenómeno físico, es decir, el tiempo no transcurre igual dentro y fuera de la nave.

Resumiendo: el tiempo propio τ (tau), el que se mide dentro de la nave, siempre es menor que t, el medido desde cualquier otro lugar que se mueva respecto de la nave.

Es fácil ver la relación entre τ y t. En la figura de la derecha tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es l, el cateto vertical es h y el cateto horizontal como la nave se mueve a velocidad v es vt. Entonces aplicando el teorema de Pitágoras:

Además como la velocidad de la luz es independiente del punto de vista:

Y juntando todo obtenemos:

El concepto  de agujero negro nace en 1796 de la mano de Laplace. La velocidad de escape de cualquier planeta o estrella depende de su masa M y se obtiene igualando la energía cinética de una partícula de masa m más su potencial en la superficie del planeta a 0 (que es su energía en reposo muy lejos del planeta).

Laplace pensó en una estrella cuya velocidad de escape fuese igual a la velocidad de la luz y, por tanto, la luz no podría escapar de esta estrella. Para eso haría falta que el radio de la estrella negra fuese:

Pero en la Relatividad NADA puede ir más deprisa que la luz, por lo tanto, cualquier cosa que este más cerca del centro que esta distancia R no puede escapar. Como nada de lo que sucede más allá de este punto se puede ver desde fuera, a esta frontera se la llama Horizonte de Sucesos.


El tiempo cerca del horizonte del agujero negro

Como hemos dicho antes las ecuaciones que obedece el espacio tiempo usan matemáticas parecidas a las que obedece un fluido. En algún sentido se puede considerar al espacio-tiempo como un liquido. Si nos dejamos caer a un agujero negro es como si nos dejáramos llevar a la deriva por la corriente; el espacio-tiempo nos arrastra. La velocidad de arrastre sería la de caída libre de un cuerpo en el campo gravitatorio:

Si no nos dejamos arrastrar y nos mantenemos a una distancia fija R es porque nos estamos moviendo a esa velocidad respecto del espacio-tiempo que se desliza bajo nuestros pies, estamos parados pero porque avanzamos contracorriente. Entonces existirá un desfase temporal entre dos puntos que estén a distintas distancias del agujero negro como sucedía en la película. Este desfase sigue la misma ecuación que el desfase entre dos objetos en movimiento:

Usando la definición del radio de Schwarzschild o del horizonte de sucesos queda de esta forma:

Otro día la curvatura de la luz cuando pasa cerca de una estrella y la temperatura de un agujero negro (efecto Hawking).

Pasa saber más

El artículo original de Einstein:  Die Feldgleichungen der Gravitation
Y su traducción al inglés: The field equations of Gravitation

Un esplendido libro de divulgación sobre la teoría de la relatividad especial escrito por Landau, un brillante físico teórico soviético que además, y esto es más raro, fue un gran divulgador: "¿Qué es la teoria de la relatividad?" Landau +Rummer

Artículo sobre la relatividad general (español): 25 de noviembre de 1915 – El artículo de Einstein

Un poco de música, física y matemáticas

Cuál si fuese un personaje de "The Big Bang Theory" aquí está este señor cantando "Bohemian Gravity", parodia-homenaje cuántico-relativista a Queen ¿o a Queentum?

A continuación una pequeña aclaración sobre algunos términos de la letra:

Teoría de cuerdas: en las teorías de partículas se suponía que el mundo estaba formado por un montón de partículas moviéndose sobre el escenario (espacio-tiempo). Las partículas son puntitos sin o casi sin extensión pero con masa y alguna otra característica (spin, carga, etc). En las teorías de cuerdas las cosas que están sobre el escenario son cuerdas, es decir, cosas con una dimensión que tienen tensión y que pueden vibrar con distintas frecuencias (como las de un violín) para dar lugar a objetos con distintas propiedades (como la masa que sería mayor cuanto mayor fuese la frecuencia de vibración).

Manifold : variedad, conjunto de puntos, si tuviese dos dimensiones sería un plano o una superficie curva, pero en la teoría de la relatividad (gravitación de Einstein) la variedad que es nuestro universo tiene 4 dimensiones (3 del espacio y una temporal) y en las teorías de la física moderna hay unas cuántas dimensiones más. Por estas variedades se pueden mover puntos (o sea partículas), cuerdas o cosas más raras.

 Dimensiones extra: son las dimensiones que se añaden a las cuatro conocidas para esconder en ellas el resto de Fuerzas que hay en el universo, aparte de la gravedad. En la teoría de la relatividad general tenemos una variedad 4D curva por la que se mueven partículas. En esta variedad las partículas se mueven por los caminos más cortos, para ello hace falta un objeto llamado métrica que nos permite medir las distancias. este objeto es una tabla de 4x4 números. Si añadimos una dimensión más, nos quedaría una tabla de 5x5, lo cuál nos deja sitio para otras 5 funciones entre las cuales estaría el vector potencial electromagnético A de cuatro componentes que nos da los campos electromagnéticos (Teorías de Kaluza-Klein). Si seguimos aumentando las dimensiones del Universo y el tamaño de la tabla métrica nos queda sitio para meter más fuerzas.

Compactificación de dimensiones: El problema con añadir más dimensiones está en la pregunta ¿Y dónde están?
Están aquí mismo pero no las vemos porque son muy pequeñas, están enrolladas sobre sí mismas en forma de circunferencia con un diámetro muy, muy, muy pequeño (de unos 10⁻³³ cm, la llamada longitud de Planck). Se pueden ver como si en cada punto de la variedad M tuviéramos una circunferencia, es decir, para cada punto del Universo identificado  por largo, ancho, alto e instante de tiempo tenemos una circunferencia en la que se mueve la quinta posición entre valores de 0 y muy poco. No se podría ver el movimiento en esta dimensión, pero su efecto sería la aparición de las ecuaciones del campo electromagnético de Maxwell afectando a las partículas cargadas.

Topología: se llaman características topológicas de una variedad a las que  nos permiten saber si dos puntos están cercanos  o no, o comparar la cercanía entre dos pares de puntos; pero sin poder medir ninguna distancia entre ellos. Esto último sería una propiedad geométrica.


Topología MxS¹: serían las propiedades topológicas correspondientes a una variedad de 5 dimensiones en la que asociada a cada punto de una variedad de 4 dimensiones hubiese una circunferencia en la cual se moviese la quinta variable x_5. 
La topología de un línea sería la de la recta numérica real, ya que cada punto se podrían asociar con un número real,  y se representa por R. Si en cada punto de esta línea incrustamos una circunferencia que se representa con el símbolo S¹, obtendríamos una topología representada con RxS y que en términos más sencillos correspondería a un cilindro.
S³ corresponde a una "esfera" de 3 dimensiones , y S⁵ a una "esfera" de 5 dimensiones.

Taquión: hipotética partícula con masa imaginaria múltiplo de $i=\sqrt{-1}$ que se mueve a mayor velocidad que la luz. Curiosamente con energía cero se moverían a velocidades infinitas, pero cuánto mayor fuese su energía más lentamente se movería siendo la velocidad de la luz un límite inferior que solo se alcanzaría con energías infinitas e inalcanzables. Justo al revés que en nuestro mundo de tardiones (este término existe realmente).

Dilatón: una partícula asociada a un campo escalar relacionado con el periodo inflacionario que se produjo inmediatamente después del Big Bang, y que hizó que nuestro Universo pasase de un tamaño minúsculo (menos que atómico)  a un tamaño macroscópico de una naranja mediante un crecimiento exponencial, por ejemplo, que cada billonésima de segundo se duplicase el diámetro del Universo. En realidad, por lo que se sabe, el tiempo de duplicación fue muy inferior a una trillonésima de segundo.

Próximamente en sus pantallas más conceptos como:

Renormalizable:

Cancelación de la anomalía:

Polyakov:

Variedad de Khäler: