El parecido de Trappist-1 con el sistema solar

Muy interesante la búsqueda de exoplanetas de las dos últimas décadas que ya nos ha dejado más de 3000 nuevos planetas y 650 nuevos sistemas planetarios en nuestras enciclopedias. Este gran número de descubrimientos parece solo el comienzo dado el crecimiento exponencial de la gráfica de hallazgo de exoplanetas.

Igualmente asombroso y exponencial pero decayente es el supuesto interés de la audiencia en una noticia lo que implica que los tiempos en los telediarios sean muy pequeños independientemente de la trascendencia de una noticia. Y estos tiempos audiovisuales implican prisas (o falta de preparación y profundidad) que dan lugar a frases curiosas en los noticieros como:

"El nuevo sistema que está cerca, a solo 40 años-luz"

Casi cierto, está relativamente cerca, en nuestra vecindad. La estrella más cercana al Sol, Próxima Centauri está a unos 4 años-luz mientras que el diámetro de nuestra galaxia, la Vía láctea es de unos 100.000 años-luz. Si salimos de nuestra galaxia ya nos iríamos a 2 millones y medio de años-luz para la galaxia de Andrómeda o 13.000 millones para los objetos más alejados (quásares) que se han observado. Aún así la Voyager 1, la sonda terrestre más rápida y que más lejos ha llegado,con su velocidad de 18 km/s tardaría unos 70.000 años en llegar a Próxima Centauri.

No hay que olvidar que
1 año-luz = (365 días)(24 h)(60 min)(60 s)(300.000 km/s) = 9,5x10¹² km =
9.500.000.000.000 km.

"El nuevo sistema es similar al nuestro"

Esta afirmación es mucho peor que la anterior, porque ¿en qué se parece el sistema de Trappist-1 al sistema Solar? Sí, tiene siete planetas que son similares (estos sí) a la Tierra, es decir, tienen masas entre 0,6 y 2 veces la masa de la Tierra (un planeta es de tipo Tierra si es rocoso y tiene un radio y masa parecidos a los de la Tierra). además de estos 7 planetas hay 3 que están en la zona habitable de su estrella (en el caso del Sol la zona habitable se extiende desde 0,84 U.A. hasta 1,67 U.A., es decir, un poco después de Venus y un poco antes de Marte). Aquí se acaba todo. Trapist-1 es una enana roja, una estrella con el 9% de masa que el Sol, mucho más fría que emite mayoritariamente en la parte baja del espectro visible (rojo) y en la infrarroja. Todos estos planetas, incluidos los que están en la zona habitable, orbitan más cerca de su estrella  que Mercurio del Sol. En el sistema solar tenemos varios gigantes gaseosos, algo de lo que no se ha hablado en Trappist-1.

Supongo que por las prisas confundirían la parte con el todo.

Artículo original en Nature ahora en Arxiv
Descubierto un sistema solar con siete planetas como la Tierra
Cómo viajar a Alfa Centauri

Las potencias de 2 y la precisión de las hojas de cálculo

Hace unos días un compañero del departamento de matemáticas estaba intentando calcular con una hoja de cálculo el resultado de 2^64 para acompañar la leyenda del premio que ofrecio un rey al creador del ajedrez. Y se encontró con la sorpresa de que la hoja de cálculo que estaba usando da un resultado incorrecto.Veamos paso a paso las distintas facetas de esta historia.

Primero, la leyenda ilustradora. Un rey de la India tuvo a bien querer agradecer a un súbdito el invento d  un juego de tablero que le tenía totalmente absorbido y entusiasmado: el ajedrez. Así que decidió hecerle un obsequio. Y tan agradecido estaba que le dijo a este sabio que pidiese lo que quisiese ya que era un rey muy rico y poderoso (y así,  ya de paso presumía de ser rico, poderoso y generoso). En esto que el sabio le pidió algo que le pareció al rey poquita cosa: "Soy un hombre de necesidades limitadas, me conformo con que me des 1 grano de arroz por el primer escaque del tablero 2 por el segundo, 4 por el tercero y así hasta llegar al número 64". Seguramente el rey encargo este calculo a sus contables y la conclusión fue sorprendente, al menos para el rey y sus contables. No había suficiente arroz en todo el reino. Ni siquiera hay suficiente arroz en todo el mundo hoy en día para satisfacer la demanda del sabio del ajedres ya que el número de granos necesario es de 18,446,744,073,709,551,616. Suponiendo que cada grano pese unos 0,026 g necesitaríamos 494.378.475.966 toneladas, mientras que la producción mundial actual es de 481 millones de toneladas/año.

Segundo, ¿cómo nos damos cuenta de que la hoja de cálculo da un resultado incorrecto? Muy fácil. Si nos fijamos en los resultados de la primera columna en la que se expone el resultado de elevar 2 a los distintos números naturales. Nos fijamos en la cifra de la unidades y vemios que las potencias de 2 van pasando por este ciclo 2, 4, 8, 6, 2, ... y vuelta a empezar. Pero en la columna nombrada esto se cumple hasta la fila 49 y a partir de ahí la cifra de las  unidades se convierte en 0 para siempre. Esto es falta de precisión en los cálculo del programa no es que las matemáticas de multiplicar por 2 hayan cambiado.

Tercero, ¿y porqué no funciona la hoja de cálculo a partir de esa fila?  El número entero mayor que se puede manejar en las hojas de calculo actuales sin aproximaciones ni redondeos es 10^15. Más allá podemos usar potencias de 10 dando el número como el producto de un número con esta precisión y el exponente de una potencia de 10 de la siguiente forma 9,999999999999999 x10^n, de esta manera el tamaño del número es casi inacabable, pero la cantidad de cifras significativas sigue siendo como mucho 15 cifras.

Cuarto y final, ¿cómo se puede hacer esta cuenta de forma exacta en una hoja de cálculo?  Muy fácil, volviendo a usar lo que aprendimos en primaria: la multiplicación con llevadas. Tenemos dos columnas una para "unidades" y otra para "decenas" siendo estas números inferiores a 10^15 (en este caso he puesto como límite 10^12, es decir, un númreo de 12 cifras). Cuando se sobrepasa ese límite se corta el número a 12 cifras y se "lleva" 1 a las "decenas" sumándolo. Como mucho la llevada puede ser de +1 ya que para pasar de un número al siguiente multiplicamos el anterior por 2 (2x9 = 18). Desupés se forma el número resultado concatenando (uniendo) las dos columnas, primero las "decenas" y luego las "unidades" para dar 18,446,744,073,709,551,616.

Ver más:

Potencias de 2 (hoja de calculo libreoffice) 
Potencias de 2 (archivo pdf)


Números enteros en los lenguajes de programación 

Aquí vamos a meternos en las tripas de los programas y de los ordenadores. Ya sabemos que los ordenadores realizan los cálculos en código binario, por ejemplo el número 10 se expresaria como 10100 = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 0·2^0. Se usa este formato por que cada 1 y cada 0 es una posición de memoria que solo puede tener 2 estados: encendida o apagada. Por eso tenemos varios tamaños de números enteros y con precisión perfecta pero tamaño limitado. la lista con los distintos tipos de números usados en los lenguak¡jes de programacion como Free Pascal empezaría con el byte que se compone de 8 cifras binarias y alcanza el valor máximo de 2^8 - 1 = 255, word con 16 bits y tamaño máximo 65535, longword con 32 bits y tamaño máximo 4,294,967,295.

Ordinal type in Free Pascal

Parábolas por todas partes

La idea de esta entrada tengo que agradecérsela a mi hija mayor y a Cervantes.

De la primera porque el otro día, viendo en la televisión un documental sobre ciencia aplicada a situaciones cotidianas, surgió que las pelotas y los jugadores de baloncesto trazan parábolas cuando están en el aire. Como mi hija está dando en estos momentos las funciones cuadráticas, cuyas gráficas son parábolas, dijo entre sorprendida y asustada: "¡Están por todas partes!". Unos días más tarde volvieron a aparecer al describir en una noticia la trayectoria que sigue un avión de las pruebas de gravedad 0 para los astronautas de la E.S.A., y sí esta trayectoria es aproximadamente parabólica durante el tiempo que se experimenta la gravedad 0.

Por otro lado Cervantes dando uns lista de los conocimientos necesarios para la ciencia de los caballeros andantes incluyo esta referencia a las matemáticas en "El ingenioso hidalgo Don Quijote de La Mancha" 2ª parte Capítulo XVIII "Es una ciencia —replicó don Quijote— que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo...,ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas"

Y sí, es verdad, las parábolas, y en general, las matemáticas están por todas partes y tendremos necesidad de ellas a cada paso.

En concreto las parábolas aparecerán por todas partes siempre que estemos en un campo gravitatorio constante ya que en estas condiciones cualquier objeto que lancemos seguirán una trayectoria aproximadamente parabólica si la velocidad de lanzamiento es baja.  No son fáciles de ver a menos que podamos ver la huella de las posiciones por la que pasa usando fotografía estroboscópica, o mejor, mirando la trayectoria de un chorro de agua que dibuja casi perfectamente una parábola. Varias si tenemos varios chorros saliendo con distinta velocidad de los surtidores.

Más gráficas insinuantes o insinuosas y el fracaso escolar

Un clásico de ayer y hoy en esta página son las gráficas que insinúan cosas que no son, aunque no mientan claramente solo falten al respeto por la verdad pero de una forma suave. Son una herramienta muy empleada por algunas personas de ciertas empresas y partidos. En  este caso nos referimos a este tuit del PP sobre el abandono escolar.

El famoso abandono escolar temprano que ahora tanto nos preocupa se refiere al porcentaje de personas de entre 18 y 24 años que no han cursado estudios post-obligatorios (bachillerato o FP de grado medio) conformándose, por gusto o por necesidad, con el título de la ESO. Aunque en España se mezcla con el concepto de fracaso escolar que añade las personas que no han finalizado la ESO abandonándola en 2º de la ESO.

Como ya se ha dicho aquí en muchas ocasiones la gráfica puede ser correcta, si lo son los datos estadísticos en los que se basa, pero lo que insinúa es que el problema ya ha desaparecido produciéndose un descenso milagroso en los últimos 4 años. Pero en realidad lo único que se ha hecho ha sido colocar el eje horizontal a altura 20, en lugar de ponerlo a altura 0. ¡Qué feo! Aunque seguro que ha sido un despiste sin mala intención.

Por otro lado, según dice este artículo Méndez de Vigo atribuye a la LOMCE y la FP la bajada de seis puntos del abandono escolar en cuatro años, hasta el 20,3% lo que convertiría a la LOMCE no en una buena ley educativa, sino en una ley extraordinaria hasta extremos inimaginables resolviendo un problema grave años antes de entrar en vigor.

¿Por qué? Pues porque la LOMCE ha empezado a funcionar este año en 1º y 3º de la ESO y la FP básica ha sido este curso 2015-16 el primero en el que se puede seguir en los institutos que la ofrecen. Es verdad que la LOMCE empezó a aplicarse el curso pasado en algunos cursos de primaria (los impares) pero incluso así ya habría fomentado el descenso del fracaso escolar con, al menos, 2 años de adelanto.


Por otro lado, el descenso del abandono escolar lleva varios años produciéndose curiosamente con gran intensidad, sobre todo en las comunidades autónomas que en su momento pudieron disfrutar más y mejor la maravillosa burbuja inmobiliaria. Algo de esto cuentan en el articulo Abandono educativo, origen social y crisis económica.

Aquí otra gráfica de años anteriores.

Como decían en aquella serie "Tengan mucho cuidado ahí fuera".


Otros enlaces relacionados:

El increíble gráfico menguante del PP - Eldiario.es

El abandono escolar temprano baja del 18,3 por ciento al 16 en la Comunidad de Madrid

El abandono escolar prematuro baja al 22,3 por ciento (2014)


El abandono escolar temprano en mujeres baja al 16,1 y se acerca al objetivo de España para 2020 del 15

Coincidencia sorprendente de cumpleaños

Hola de nuevo. Siento el gigantesco lapsus que se ha producido desde la última publicación, pero la vida es muy complicada y esta llena de coincidencias sorprendentes.

¿O no tan sorprendentes? Un ejemplo es un problema básico de probabilidad (la parte de las matemáticas que mejor explica o desmitifica las coincidencias):  
el problema del cumpleaños.

Su enunciado podría ser este: ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos personas en una reunión de 23 personas coincidan en la fecha de su cumpleaños?

¿Cuántas veces creéis que puede ocurrir? ¿ 5 veces de cada 100 (P = 5% = 0,05) que juntéis un grupo de 20 personas? ¿10 veces de cada 100 (P = 10% = 0,1)? ¿O incluso, 30 de cada 100 (P = 30% = 0,3)?


En lugar de complicarnos la vida con conjeturas arriesgadas, calculemos

Que haya al menos dos personas con cumpleaños coincidentes quiere decir que me vale con que haya dos, pero también vale si hay tres o cuatro o veintitrés. Y habría que calcular la probabilidad de que suceda cada una de estas cosas por separado y después sumarlo todo. Parece un poco complicado.

Por suerte, hay otro camino que pasa por calcular justo lo contrario, es decir, la probabilidad de que nadie tenga el cumpleaños el mismo día.Y esto es muy fácil de calcular.

Si tuviéramos dos personas la primera tendría para elegir 365 días de los 365 días del año, pero la segunda solo tendría 364 días de los 365 días del año si no queremos que coincidan los cumpleaños el mismo día. Por tanto, para dos personas la probabilidad de que una persona tenga su cumpleaños un día cualquiera Y la otra persona tenga su cumpleaños un día cualquiera distinto al de la primera persona es:

$$$$$$P=\frac{365}{365}·\frac{364}{365}=\; 0,997260274$$

Siguiendo la misma lógica es fácil calcular la probabilidad de que en un grupo de 23 personas no haya ninguna coincidencia:
$$$$

$$P=\frac{365}{365}·\frac{364}{365}·\frac{363}{365}···\frac{365-22}{365}=\mathrm{0,4927027657}\approx \mathrm{0,49}$$

$$$$

Y esto es justo lo opuesto que queríamos calcular, así que la suma de los dos sucesos tiene que ser 1 que es la probabilidad del suceso seguro, es decir, seguro que ocurre una de las dos cosas ya que una es lo contrario de la otr. Por eso, la probabilidad de que,a l menos, dos personas tengan su cumpleaños el mismo día es:

$$P=1-\mathrm{0,49}=\mathrm{0,51}=51\text{\%}$$

¡51%! Esto quiere decir de de cada 100 reuniones de este tipo habría 51 con alguna coincidencia. Un número bastante grande. De hecho es igual de probable que ocurra esta coincidencia a que tiré una moneda y salga cara.

En una próxima entrega: lo que me dijo una alumna después de explicar este problema en una clase de probabilidad de 4º de la ESO.

Eso sí que me sorprendió. Próximamente en sus monitores.
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Curvas (gráficas) insinuantes

En el ejemplar de  "el País" del día 23 de marzo de 2015 se puede leer el artículo La fuga de depositos se acelera. En este artículo se habla del ritmo con el que los fondos bancarios se escapan de Grecia tras la victoria de Syriza en enero de este mismo año. Para ello se mostraba una gráfica con la evolución de los fondos bancarios en los últimos años, con una caída casi constante desde el comienzo de la actual crisis pero con algunos momentos particularmente intensos.



No me preocupa lo que dice esa gráfica, sino lo que insinúa.

Sin negar la gravedad de la situación que puede generar esta huida relativamente rápida de capitales, podríamos visualizarlo de otra forma. En esta otra gráfica que he fabricado se muestra la misma información, pero la sensación que produce parece distinta ¿no?

Aunque la información es la misma, sin embargo la sensación es distinta y, por desgracia, dado que los humanos somos animales racionales pero dados a dejarnos llevar por la impresiones y sensaciones visuales más que por los análisis racionales y meditados, sobre todo en cuestiones relacionadas con el miedo como son la crisis y algunas facetas de la política habría que tener cierto cuidado en mostrar la información de forma equilibrada y completa.

Se podría tomar como explicación para este recorte gráfico el problema de espacio habitual en los medios escritos, pero para evitar esto se podría haber usado esta otra gráfica con lo mejor de las dos.

Sensaciones, información, matemáticas y racionalidad. Mañana más.

Si compras un décimo en Madrid es más probable que te toque el Gordo

El título de la entrada es una frase escuchada hoy en una de las innumerables y aburridas noticias sobre el sorteo de la lotería de navidad. Depende de quién sea el gordo que te toque, pero si es el de la lotería lamento discrepar.

Todos sabemos, salvo la persona que dijo esto, que si compras un décimo siempre tienes las mismas probabilidades de que te toque independientemente del lugar en el que lo compres. Con la evidente excepción del Bar Antonio.

¿En que supuestos datos se basaron para decir esta falsedad matemática?

En Madrid ha tocado el gordo en 75 ocasiones (mucho más que en otros sitios). Por lo tanto si compró en Madrid es más probable que me toque ¡Mentira! Es más probable que toque en Madrid porque se vende más que en otros sitios, Pero como esa probabilidad se reparte entre más gente que compra en Madrid, al final la probabilidad para cada décimo es la misma. Como no podía ser de otra manera.

Buenas fiestas, y buen cumpleaños de Jesús, Newton y Bogart (por orden de supuesta aparición).

¿Qué es mejor un salario medio o mediano?

Mucha gente pensará que tiene un salario mediano, o incluso peor que eso. Y el 50% de la población acertará seguro. ¿Por qué? Porque esa es la definición de mediana en estadística: el valor o en este caso, el salario que está justo por encima del 50% de la población.

También habrá quien crea que el salario medio y el mediano son lo mismo. Pues no. De hecho, en España hay una diferencia de unos 4.000€ anuales entre ambos valores.

Siguiente pregunta: ¿Qué es mejor ganar un salario mediano o medio? Habrá quién piense que da lo mismo. Y aunque no hay mucha diferencia, en España es mejor ganar una salario medio que mediano. Ya que según las últimas estadísticas el salario medio en España es de 23.000 €/año y el mediano 19.287 €/año. Eso es debido a que en el cálculo del valor medio influyen más que en la mediana los valores extremos, es decir, tanto los valores muy altos como los muy bajos. En el caso de España la distancia entre los valores medios y medianos implica que hay algunas personas (pocas) cuyos sueldos son lo suficientemente altos como para aupar el salario medio por encima del salario mediano.

En el siguiente vídeo del programa "La Sexta Noche" se puede ver la explicación del economista José Carlos Díez sobre todas estas cuestiones:

Y en Gaussianos tenemos el post Cuando hables de salarios utiliza la mediana
dónde se explica todo lo relativo a medianas y medias acompañado de ejemplos concretos.

Otras noticias relacionadas con los salarios en España. Como se puede ver en los siguientes artículos los sueldos son menores en España que en la UE, y bajan con el tiempo.

• El salario medio español cae hasta los 22.726,44 euros en 2012
• El salario medio en España es un 15,34% inferior al de la Unión Europea
• El salario medio español bajó en 2013 por primera vez en 64 años

¿Es mejor conducir borracho que sobrio? Probabilidad condicionada

Está claro que conducir borracho aumenta el riesgo de accidente, y en el artículo El 43% de los muertos de tráfico en 2013 dio positivo por alcohol o drogas este hecho individual se convierte en un dato estadístico.

Ahora bien, seguro que muchos han gastado la broma típica: Conducen peor los que no van borrachos porque han tenido ... ¡un 57% de los accidentes!

Lo malo es que, a veces, quién hace esa broma parece que no tiene muy claro porque es una broma y no es verdad. Tiene que ver con un concepto matemático llamado probabilidad condicionada.

La probabilidad condicionada nos adapta el concepto de probabilidad a los casos en los que no solo nos preguntan por la probabilidad de algo, sino que nos dan una información adicional que restringe el número de casos totales sobre los que se aplica esa pregunta.

La letra P representa la probabilidad de que ocurra algo (y aquí también puede representar el porcentaje de casos en los que ocurra algo)

Probabilidad de que ocurra A (sin más condiciones) $$\mathrm{ }$$
N(A) = Número de casos en los que ocurre A
N      = Número de casos totales

Probabilidad de que ocurra A si ha ocurrido B $$P(A/B)=\frac{N(AyB)}{N(B)}$$
N(A y B) = Número de casos en los que ocurran A y B a la vez
N(B)       = Número de casos en los que ocurre B

Por ejemplo, si tenemos un dado perfectamente equilibrado la probabilidad de sacar un "2" es 1/6, pero si nos advierten de que ya han tirado el dado y el número que ha salido es par la respuesta a la pregunta "¿probabilidad de sacar un 2?" cambia, ya no es 1/6, sino 1/3 ya que solo hay 3 números pares entre 1 y 6.

En notación matemática esto quedaría escrito de la siguiente forma:

$$P(\text{2})=\frac{N(\text{2})}{N}=\frac{1}{6}$$

$$P(2/\mathit{PAR})=\frac{N(2 \mathrm{y }\mathit{PAR})}{N(\mathit{PAR})}=\frac{1}{3}$$

Siguiendo esta lógica a continuación veremos que aunque el porcentajes de accidentes con conductores ebrios es parecido al porcentaje de accidente con conductores sobrios, como los conductores borrachos abundan menos, la probabilidad de tener un accidente estando borracho es 5 veces superior a si se está sobrio.

Nuestro objetivo es calcular la probabilidad de tener un accidente si vas borracho P(A/B) y compararlo con la probabilidad de accidente si no vas borracho P(A/No B) a partir de los datos:

• Probabilidad  de estar borracho si has tenido un accidente
  P(Borracho/Accidente) = P(B/A) = 43% = 0,43
• Probabilidad  de no estar borracho si has tenido un accidente
  P(No Borracho/Accidente) = P(No B/A) = 57% = 0,57 
• Porcentaje de conductores Borrachos P(B) = 12% = 0,12
• Extrayendo datos de Nota de prensa: Estadísticas 2013 DGT
N. accidentes 2013 = 928
N. desplazamiento 2013 = 354.219.623
$$P(A)=\frac{928}{354.219.623}=\mathrm{0,00000262}$$=0,00026% 

Porcentaje de accidentes con conductor borracho implicado
$$P(A y B)=P(A)·P( B/A)=\mathrm{0,00000262}·\mathrm{0,43}=\mathrm{0,000001127}\approx \mathrm{0,00011\%}$$

Calculamos lo mismo para el caso de que el conductor no esté borracho. Como se ve, el número es prácticamente igual al caso anterior. $$$$
$$P(A y \mathit{No}\mathrm{ \; B})=P(A)·P(\mathit{No} B/A)=\mathrm{0,00000262}·\mathrm{0,57}=\mathrm{0,000001493}\approx \mathrm{0,00015\%}$$

Con la definición de probabilidad condicionada calculamos la probabilidad de tener un accidente si estás borracho
$$P(A/B)=\frac{P(A y B)}{P(B)}=\frac{\mathrm{0,000001127}}{\mathrm{0,12}}\approx \mathrm{0,0009\%}$$
$$P(A/\mathrm{No\; B})=\frac{P(\mathrm{A }\mathrm{y\; No }B)}{P(\mathrm{No\; B})}=\frac{\mathrm{0,000001493}}{\mathrm{0,88}}\approx \; 0,00017\mathrm{\%}$$

P(A/B) : P(A/No B) = 0,00090/0,00017 = 5,2 

Por cierto,  la relación entre ambas probabilidades, en realidad, no depende del porcentaje de accidentes que aparece idéntico en ambas expresiones.

P.D.: Aunque en ningún momento se haya nombrado, al calcular las probabilidades condicionadas intercambiando A por B, hemos aplicado el teorema de Bayes herramienta muy útil tanto en la caza del spam como en las técnicas de inducción estadística.

Qué poco se habla de cómo se reparte el dinero

En un artículo publicado la última semana en 20 minutos titulado El nivel de riqueza de cada madrileño baja en 1.559 euros de media desde el inicio de la crisis se puede ver como se tratan distintas magnitudes estadísticas.

En primer lugar se habla de la media, en este caso el PIB per capita madrileño en retroceso desde el comienzo de la crisis y su comparación con esta misma magnitud en otras regiones. La media suele ser un tema central en cualquier artículo en el que se usen estudios estadísticos. La media nos dice a cuánto tocaríamos si la riqueza de la región se repartiese equitativamente. Pero, ya sabemos que no es así.

Por otro lado en este artículo se consulta a un catedrático de economía que habla precisamente de la desigualdad en el reparto y su  aumento según avanza la crisis. Pero aunque se habla de ello, no se ofrece ningún dato numérico ni se compara con nada. Aún así, es mucho más de lo que suele aparecer en la prensa ya que lo habitual es la ausencia de parámetros que informan de la desigualdad en el reparto.

Quizás será porque el dinero siempre ha sido muy difícil de repartir.

¿Qué parámetros hay a nuestra disposición para medir la desigualdad en estadística? Es cierto que la desviación típica quizás sea demasiado abstracta para el común de los mortales, pero podría ser suficientemente intuitivo dar la mediana o el percentil 99 (esto tiene que ver con las famosas pancartas que aparecieron en la manifestaciones de EEUU "we are 99%") o el percentil 90 comparado con el percentil 10 ($\frac{p_{90}}{p_{10}}$) o el porcentaje de PIB en manos del 5% de la población más rico o el coeficiente de Gini. Será por opciones.

Un ejemplo del uso de alguno de estos medidores de desigualdad esta en "La doctrina del Shock" de Naomi Klein. En el último capítulo se dice que el 10% de la población más rica de Argentina pasó de controlar 12 veces más dinero que el 10% más pobre en 1970, a acumular 43 veces más dinero en 2002. Es decir,

$\begin{array}{c}\frac{p_{90}}{p_{10}}(1970)=12\\ \frac{p_{90}}{p_{10}}(2002)=43\end{array}$

En definitiva, incluso en artículos bienintencionados que pretenden dar algo más de información que otros, es difícil encontrar una visión completa desde el punto de vista matemático, más allá de la miopía de los valores medios.

Ejercicios resueltos de probabilidad para 4º

Un archivo pdf con un folio de ejercicios resueltos típicos de probabilidad: espacio muestral, calculo de sucesos y probabilidad, unión, intersección, tablas de contingencia, experimentos compuestos dependientes e independiente,...

Ejercicios resueltos de probabilidad

PS.: Había un error aritmético en una tabla de contingencia que ya ha sido corregido. Le agradezco a mi alumno Héctor  Núñez que me señalara ese error.

Solución de los exámenes de 4º B. Polinomios y ecuaciones

Bueno aprovechando los blogs nos evitaremos más fotocopias. El examen con solución que os prometí está en formato pdf aquí:

Solución del examen de polinomios, ecuaciones e inecuaciones.

Y de propina la solución del anterior sobre trigonometría:

 Solución del examen de trigonometría

Solución de los exámenes de 4º D. Estadística y probabilidad

Dejo en formato pdf las soluciones a los dos últimos exámenes. Al menos ahorraremos algo en fotocopias y en papel (una ventaja para los árboles).

Solución examen Estadística

Solución examen Probabilidad