¿Qué es mejor un salario medio o mediano?

Mucha gente pensará que tiene un salario mediano, o incluso peor que eso. Y el 50% de la población acertará seguro. ¿Por qué? Porque esa es la definición de mediana en estadística: el valor o en este caso, el salario que está justo por encima del 50% de la población.

También habrá quien crea que el salario medio y el mediano son lo mismo. Pues no. De hecho, en España hay una diferencia de unos 4.000€ anuales entre ambos valores.

Siguiente pregunta: ¿Qué es mejor ganar un salario mediano o medio? Habrá quién piense que da lo mismo. Y aunque no hay mucha diferencia, en España es mejor ganar una salario medio que mediano. Ya que según las últimas estadísticas el salario medio en España es de 23.000 €/año y el mediano 19.287 €/año. Eso es debido a que en el cálculo del valor medio influyen más que en la mediana los valores extremos, es decir, tanto los valores muy altos como los muy bajos. En el caso de España la distancia entre los valores medios y medianos implica que hay algunas personas (pocas) cuyos sueldos son lo suficientemente altos como para aupar el salario medio por encima del salario mediano.

En el siguiente vídeo del programa "La Sexta Noche" se puede ver la explicación del economista José Carlos Díez sobre todas estas cuestiones:

Y en Gaussianos tenemos el post Cuando hables de salarios utiliza la mediana
dónde se explica todo lo relativo a medianas y medias acompañado de ejemplos concretos.

Otras noticias relacionadas con los salarios en España. Como se puede ver en los siguientes artículos los sueldos son menores en España que en la UE, y bajan con el tiempo.

• El salario medio español cae hasta los 22.726,44 euros en 2012
• El salario medio en España es un 15,34% inferior al de la Unión Europea
• El salario medio español bajó en 2013 por primera vez en 64 años

Pensiones y más porcentajes encadenados

En estos momentos en España se está debatiendo el cambio, mejor dicho, se está cambiando el sistema público de pensiones. Según los que pretenden reformarlo, porque es insostenible, aunque a veces parece que sencillamente se desmonta para dar oportunidad de negocio a otros elementos en este mercado.

En esta reforma se ha planteado la posibilidad de aumentar las pensiones como mínimo un 0,25%, lo que se presenta como un gran avance ya que hace unos años las pensiones quedaron congeladas (sin subida), debido a la crisis. Así visto, mejor una subida en un año del  0,25% que un 0%. Pero, ¿realmente es tan bueno? Si uno toma un solo año sí, pero vamos a tomar un  periodo más largo para comparar y no quedarnos en lo obvio.

Escojamos el periodo 2009 2011, ya inmersos en la crisis y coronado por la congelación del 2011. Los incrementos de las pensiones en ese periodo fueron:

• 2009: 2,4%
• 2010: 1,3%
• 2011:    0%

¿Qué subida total hubo con estos porcentajes anuales y de cuánto sería si el porcentaje hubiese sido todos los años de 0,25%?

$\begin{array}{c}\mathit{subida }\mathit{con }\mathit{variaciones}=\left(1+\frac{\mathrm{2,4}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{1,3}}{100}\right)\left(1+\frac{0}{100}\right)=\mathrm{1,037312}\\ \mathit{subida} \mathit{constante }\mathit{de }\mathrm{0,25}\% \mathit{anual}=\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)=\mathrm{1,007518766}\end{array}$

A pesar de la congelación del 2011, los 100 € de 2008 serían 103,73 € en 2012, mientras que después de tres subidas idénticas de 0,25% los 100 € se habrían convertido en 100,75 €.

¿Cuál sería el porcentaje anual medio de aumento en el primer caso?
Parece fácil: se suma los porcentajes y se divide entre 3, y ya está. Pues no, existen muchos tipos de medias y esta no es la correcta en este caso, aunque la diferencia entre este cálculo erróneo y el correcto es muy pequeña esta vez.

La media aritmética cumple la fórmula relacionada con la suma:

$\mathit{media }\mathit{aritmética}=\frac{a+b+c}{3}$

Mientras que la media correcta en este caso, la media geométrica está más relacionada con la multiplicación de varios factores que es justo lo que nos interesa cuando trabajamos con porcentajes encadenados

$\mathit{media} \mathit{geométrica}=\sqrt[3]{a·b·c}$

Aplicándolo a este caso, nos queda que en los años 2009-2011 la subida total equivale a una subida media anual de 1,2%:

$\sqrt[3]{\left(1+\frac{\mathrm{2,4}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{1,3}}{100}\right)\left(1+\frac{0}{100}\right)}=\sqrt[3]{\mathrm{1,024}·\mathrm{1,013}·1}=\mathrm{1,012285775}\approx \mathrm{1,012}$

Es decir, mayor que 0,25% a pesar de la congelación de 2011. Eso sí, esa subida del 1,2% fue probablemente inferior a la inflación. Y a partir de ahora será aún menor. 

Noticias sobre las subidas de las pensiones en el periodo 2009-2011:

• La subida de la pensiones para 2008, las cuales se revalorizarán entre el 4,1 y el 6,5%.
• Las pensiones suben desde enero entre un 2,4 por 100 y un 7,2 por 100
• El Gobierno aprueba una subida del 1,3% para todas las pensiones y el salario mínimo
• Congelación de pensiones 2011

Qué poco se habla de cómo se reparte el dinero

En un artículo publicado la última semana en 20 minutos titulado El nivel de riqueza de cada madrileño baja en 1.559 euros de media desde el inicio de la crisis se puede ver como se tratan distintas magnitudes estadísticas.

En primer lugar se habla de la media, en este caso el PIB per capita madrileño en retroceso desde el comienzo de la crisis y su comparación con esta misma magnitud en otras regiones. La media suele ser un tema central en cualquier artículo en el que se usen estudios estadísticos. La media nos dice a cuánto tocaríamos si la riqueza de la región se repartiese equitativamente. Pero, ya sabemos que no es así.

Por otro lado en este artículo se consulta a un catedrático de economía que habla precisamente de la desigualdad en el reparto y su  aumento según avanza la crisis. Pero aunque se habla de ello, no se ofrece ningún dato numérico ni se compara con nada. Aún así, es mucho más de lo que suele aparecer en la prensa ya que lo habitual es la ausencia de parámetros que informan de la desigualdad en el reparto.

Quizás será porque el dinero siempre ha sido muy difícil de repartir.

¿Qué parámetros hay a nuestra disposición para medir la desigualdad en estadística? Es cierto que la desviación típica quizás sea demasiado abstracta para el común de los mortales, pero podría ser suficientemente intuitivo dar la mediana o el percentil 99 (esto tiene que ver con las famosas pancartas que aparecieron en la manifestaciones de EEUU "we are 99%") o el percentil 90 comparado con el percentil 10 ($\frac{p_{90}}{p_{10}}$) o el porcentaje de PIB en manos del 5% de la población más rico o el coeficiente de Gini. Será por opciones.

Un ejemplo del uso de alguno de estos medidores de desigualdad esta en "La doctrina del Shock" de Naomi Klein. En el último capítulo se dice que el 10% de la población más rica de Argentina pasó de controlar 12 veces más dinero que el 10% más pobre en 1970, a acumular 43 veces más dinero en 2002. Es decir,

$\begin{array}{c}\frac{p_{90}}{p_{10}}(1970)=12\\ \frac{p_{90}}{p_{10}}(2002)=43\end{array}$

En definitiva, incluso en artículos bienintencionados que pretenden dar algo más de información que otros, es difícil encontrar una visión completa desde el punto de vista matemático, más allá de la miopía de los valores medios.

Trabajo sobre estadística

Aquí encontraréis una presentación en la que se introducen algunos conceptos básicos de estadística usando como guión un trabajo sencillo basado en datos obtenidos de una clase de 3º de la E.S.O.

Estadística ESO from Faustino Lobo Fernández

Esta presentación os sirve como ejemplo para el trabajo sobre estadística. Aprovechad estos días para la dura tarea de recopilación de datos (preguntad a compañeros, vecinos, familiares, ...) . Si escogéis un variable cuantitativa será posible hacer los cálculos de media y desviación típica.

Cualquier pregunta o duda se puede dejar en los comentarios de esta entrada.

El trabajo se puede mandar en formato electrónico (Office o LibreOffice) a mi correo flobo@educa.madrid.org