Pensiones y más porcentajes encadenados

En estos momentos en España se está debatiendo el cambio, mejor dicho, se está cambiando el sistema público de pensiones. Según los que pretenden reformarlo, porque es insostenible, aunque a veces parece que sencillamente se desmonta para dar oportunidad de negocio a otros elementos en este mercado.

En esta reforma se ha planteado la posibilidad de aumentar las pensiones como mínimo un 0,25%, lo que se presenta como un gran avance ya que hace unos años las pensiones quedaron congeladas (sin subida), debido a la crisis. Así visto, mejor una subida en un año del  0,25% que un 0%. Pero, ¿realmente es tan bueno? Si uno toma un solo año sí, pero vamos a tomar un  periodo más largo para comparar y no quedarnos en lo obvio.

Escojamos el periodo 2009 2011, ya inmersos en la crisis y coronado por la congelación del 2011. Los incrementos de las pensiones en ese periodo fueron:

• 2009: 2,4%
• 2010: 1,3%
• 2011:    0%

¿Qué subida total hubo con estos porcentajes anuales y de cuánto sería si el porcentaje hubiese sido todos los años de 0,25%?

$\begin{array}{c}\mathit{subida }\mathit{con }\mathit{variaciones}=\left(1+\frac{\mathrm{2,4}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{1,3}}{100}\right)\left(1+\frac{0}{100}\right)=\mathrm{1,037312}\\ \mathit{subida} \mathit{constante }\mathit{de }\mathrm{0,25}\% \mathit{anual}=\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)=\mathrm{1,007518766}\end{array}$

A pesar de la congelación del 2011, los 100 € de 2008 serían 103,73 € en 2012, mientras que después de tres subidas idénticas de 0,25% los 100 € se habrían convertido en 100,75 €.

¿Cuál sería el porcentaje anual medio de aumento en el primer caso?
Parece fácil: se suma los porcentajes y se divide entre 3, y ya está. Pues no, existen muchos tipos de medias y esta no es la correcta en este caso, aunque la diferencia entre este cálculo erróneo y el correcto es muy pequeña esta vez.

La media aritmética cumple la fórmula relacionada con la suma:

$\mathit{media }\mathit{aritmética}=\frac{a+b+c}{3}$

Mientras que la media correcta en este caso, la media geométrica está más relacionada con la multiplicación de varios factores que es justo lo que nos interesa cuando trabajamos con porcentajes encadenados

$\mathit{media} \mathit{geométrica}=\sqrt[3]{a·b·c}$

Aplicándolo a este caso, nos queda que en los años 2009-2011 la subida total equivale a una subida media anual de 1,2%:

$\sqrt[3]{\left(1+\frac{\mathrm{2,4}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{1,3}}{100}\right)\left(1+\frac{0}{100}\right)}=\sqrt[3]{\mathrm{1,024}·\mathrm{1,013}·1}=\mathrm{1,012285775}\approx \mathrm{1,012}$

Es decir, mayor que 0,25% a pesar de la congelación de 2011. Eso sí, esa subida del 1,2% fue probablemente inferior a la inflación. Y a partir de ahora será aún menor. 

Noticias sobre las subidas de las pensiones en el periodo 2009-2011:

• La subida de la pensiones para 2008, las cuales se revalorizarán entre el 4,1 y el 6,5%.
• Las pensiones suben desde enero entre un 2,4 por 100 y un 7,2 por 100
• El Gobierno aprueba una subida del 1,3% para todas las pensiones y el salario mínimo
• Congelación de pensiones 2011