InterStelar: La radiación Hawking

No se si se puede considerar un homenaje a S. Hawking publicar esto cerca del aniversario de su muerte, pero en cualquier caso ya era hora de que volviese sobre las características de los agujeros negros no tratadas en la entrada anterior Las cuentas de InterStellar usando como excusa InterStellar.

Hawking descubrió este fenómeno en 1973 mientras trabajaba con el profesor Penrose. Sus resultados estaban inspirados y formaban parte de la termodinámica de los AN desarrollada entre otros por Bekenstein,  Zel'dovich y Starobinski. Aquí se establece un paralelismo entre los principios de la termodinámica y las propiedades que se conocían de los agujeros negros en rotación de tal manera que se podía asignar una temperatura a los agujeros negros. Pero claro, si la temperatura del agujero negro es superior a la del espacio que le rodea entonces ¡los agujeros negros tienen que emitir calor!

Aprovechándome de que el profesor Hawking demostró rigurosamente por dos métodos distintos la fórmula que asigna una temperatura a un agujero negro,  usaré una historia sobre el vacío y leyes básicas para alcanzarla.

En primer lugar, una onda solo puede ver, detectar e interaccionar con un objeto cuando es mayor que su longitud de onda. Por lo tanto, una onda solo podría ver el agujero negro (y ser absorbida por este) cuando la longitud de onda es menor que el tamaño de agujero negro.

Las ondas con longitud de onda λ mucho mayor que el agujero negro no serán absorbidas por él porque no lo "ven".

Dónde R_s es el radio de Schwarchild

Por otro lado, según la mecánica cuántica un fotón tiene asociada una energía a su longitud de onda dada por la fórmula:

h constante de Planck , ν frecuencia y c velocidad de la luz

Juntando los dos hechos anteriores, los fotones que podrían escapar (no ver)  serán los que tendrían un energía inferior a

Desde la física estadística nos llega la equipartición de la energía que asegura que bajo ciertas condiciones como que haya equilibrio térmico (todo el gas está a la misma temperatura) cada fotón tendrá de media una energía E = kT (en realidad sería 1/2 kT pero para cada frecuencia hay dos polarizaciones) siendo k la constante de Boltzmann.

Otro detalle proveniente de la mecánica cuántica se refiere al inefable principio de incertidumbre según el cual es imposible conocer con exactitud la energía del estado en el que esta nuestro sistema a menos que lo vigilemos continuamente. Es decir, la energía de nuestro sistema bailará alrededor de una energía (fluctuará) y estas fluctuaciones serán tanto mayores cuanto menor sea el tiempo que duren. Esto implica que hasta se podrán crear partículas de la nada si duran muy poquito tiempo. Así que nuestro vacío esta realmente repleto de fotones que aparecen y desaparecen.

Si en este vacío tenemos un agujero negro, algunas de estas partículas del vacío serán absorbidas y otras no, así que nos dará la impresión que del agujero negro (en realidad del vacío que rodea el agujero negro) vienen partículas con una energía asociada a una temperatura. Juntando las dos fórmulas anteriores sobre la energía de estos fotones:

Hawking escribió dos artículos sobre este efecto, en el primero se basó en el análisis de las funciones de onda en un espacio-tiempo curvo de las partículas que interaccionan con un agujero negro, y en otro artículo (matemáticamente muy bonito) usaba una integral 4D con el cambio de variable a tiempo euclídeo (el tiempo como numero imaginarios) y comparaba el resultado con una herramienta de la mecánica estadística llamada función de partición que relaciona la distribución energética por niveles  con la temperatura de un sistema de partículas.

Permanezcan atentos a sus pantallas: la próxima entrega, la curvatura de la luz por un campo gravitatorio.

Ondas y la música de las esferas

Hay ondas por todas partes, últimamente también en todos los medios gracias a la detección experimental de ondas gravitacionales descubiertas por Einstein hace un siglo como consecuencia de las ecuaciones de campo gravitatorio presentes en su teoría de la Relatividad General.

Pero aparte de estas ondas famosas hoy la ondas abundan en el universo, cerca y lejos de nosotros. Hay ondas en la superficie de agua (olas), en el aire (ondas de sonido), dentro de la Tierra (ondas sísmicas),...

Las ondas más famosas (hasta ahora) por su ubicuidad y utilidad natural y técnica eran las ondas electromagnéticas. Dentro de estas se encuentran las ondas de radio (comunicación y radar), las de televisión, las del wifi, las microondas (hornos, radar y máser). Las ondas radioeléctricas fueron descubiertas por Maxwell en 1864 al escribir su ecuación del campo electromagnético,  producidas y detectadas por Hertz en 1888. Sin embargo lo más sorprendente no fue la tecnología con la que se consiguió producir estas nuevas ondas, sino que tenían poco de nuevas. Estas ondas eran las mismas que las de la luz (visible, infrarroja y ultravioleta) conocidas desde mucho antes.

Todas la ondas tienen varias características comunes. La primera que en cada punto las ondas son vibraciones de "algo". Este "algo" puede ser la altura de la superficie del agua, la altura de un trozo de cuerda que oscila, la densidad del aire (sonido). En el caso de las ondas  más novedosas son cosas menos tangibles. En la luz y la radio se trata del campo eléctrico y magnético, y en las ondas gravitacionales es el campo métrico, es decir, una magnitud que nos dice la distancia entre dos puntos fijos A y B.

Por lo tanto para detectar ondas gravitatorias se usa un aparato que mide con gran precisión distancias entre dos puntos "fijos": un interferómetro, aparato basado en las tecnologías de las ondas, en este caso ópticas. Un detalle bonito de la historia de la ciencia es que en el experimento de Michelson-Morley (1887) en el que se confirmó la constancia de la velocidad de la luz base de la relatividad especial era también un interferómetro parecido, aunque mucho más primitivo y con menos precisión que el usado en la detección de las ondas gravitatorias LIGO capaz de detectar variaciones de una diezmilésima parte del diámetro de un átomo (0,000 000 000 000 01 m)

¿A qué viene tanto revuelo por la confirmación de la existencia de estas ondas? ¿Solo por el interés de confirmar las predicciones de Einstein? Pues no solo por eso. Desde el comienzo de la observación del cielo la única fuente de información sobre el universo lejano provenía de las ondas electromagnéticas. Primero la luz visible, y a partir del siglo XX se han incorporado las ondas de radio, infrarrojos, rayos X y rayos gamma.

Pero aún existen fenómenos que se producen en regiones del Universo que son opacas a casi todas o todas las radiaciones electromagnéticas, por lo que estas ondas serían inútiles para conseguir información. Y es en este punto dónde entran las ondas gravitacionales.

Un caso concreto lo tenemos en la exploración del comienzo del universo. Existe una radiación fósil que es el fondo de microondas. Este fondo son los ecos de la radiación electromagnética de la creación. Pero esta radiación no proviene de los primeros instantes del universo, sino de la época de la recombinación que se produjo 300.000 años más tarde. Tras la recombinación  el espacio se hizo transparente a la radiación electromagnética al reunirse los electrones con los núcleos atómicos, ya que antes estaban separados y las cagas libres formando un plasma  e impiden la transmisión de la radiación electromagnéticas. Las ondas gravitacionales nos pueden traer información nueva y útil de la época opaca anterior a la recombinación.

El evento que ha creado esta onda gravitacional, llamada GW150914, ha sido el choque y fusión de dos agujeros negros de tamaño estelar (unas decenas de masas solares). Han construido una onda sonora que coincide en frecuencia y forma con la de la onda gravitatoria para que podamos escuchar esta música de las esferas que se propaga por el espacio-tiempo. Quizás los pitagóricos tenían razón porque esta música es la que se escucha por la fricción de los mecanismos que hacen moverse los cuerpos celestes.

Ver también:
Cronologia del Big Bang
Principia Marsupia: Cómo explicarle las ondas gravitacionales a tu abuela
Introducción a LIGO y a las ondas gravitacionales
Otro proyecto-antena: LISA PathFinder En busca del sonido del universo que predijo Einstein 
Gran libro: "Los tres primeros minutos del Universo" Steven Weinberg (1988)

Las cuentas de Interstellar

El pasado 25 de noviembre se cumplió el primer centenario de la presentación de la Relatividad General en  la Academia Prusiana de Ciencias. Además este año 2015 se ha rendido un homenaje muy interesante a esta teoría a través de la película de ciencia-ficción (con bastante ciencia) "InterStellar".

Las matemáticas que están detrás de la relatividad general se llama cálculo tensorial y geometría diferencial y se aplica en la geometría de las superficies curvas y en la física de fluidos (líquidos y gases). La ecuación principal de la RG es:

Los subíndice i k corren desde 1 hasta 4, es decir, las tres dimensiones espaciales y el tiempo. En total es una ecuación matricial con 16 componentes,es decir, son 16 ecuaciones en las que encontramos segundas derivadas en ecuaciones no lineales, o sea, productos de varias variables.

Aparentemente algo más complicado que la buena y conocida (por algunos) teoría de Newton con sus fuerzas a distancia, su masa y su inercia. Pero la teoría de Newton que sí funciona bastante bien para gravedades débiles y bajas velocidades debe estar dentro, de alguna forma, de la relatividad general.

Gran parte de estos cálculos nos llevarán a fórmulas correctas pero usando métodos matemáticos sencillos basados parcialmente en la física newtoniana, no aplicable a los AN, salvo como primera aproximación. Por suerte un acercamiento más riguroso lleva a las mismas conclusiones. 


El tiempo es relativo.

Estamos acostumbrados a pensar que la duración de los fenómenos no depende del punto de vista. Eso es porque todo lo que conocemos se mueve relativamente despacio. Imaginemos que vamos en la nave de InterStellar y disparamos un láser hacia el techo. Si lo vemos desde dentro de la nave el rayo sube en vertical desde el suelo al techo y las distancia recorrida será h (altura de la nave). Si lo vemos desde un planeta el rayo avanzará inclinado y recorrerá una distancia mayor que antes.

En otros tiempos habríamos pensado que el tiempo transcurrido en ambos escenarios era el mismo, pero ahora sabemos gracias al experimento de Michelson-Morley (1887) que lo que no cambia en los dos casos es la velocidad de la luz c.

Por lo tanto si la velocidad es constante y la distancia recorrida es mayor desde el punto de vista del planeta, entonces el rayo de luz tarda más tiempo en alcanzar el techo si lo miramos desde el planeta que si lo vemos desde un asiento en la nave. Y lo mismo pasa con cualquier otro fenómeno físico, es decir, el tiempo no transcurre igual dentro y fuera de la nave.

Resumiendo: el tiempo propio τ (tau), el que se mide dentro de la nave, siempre es menor que t, el medido desde cualquier otro lugar que se mueva respecto de la nave.

Es fácil ver la relación entre τ y t. En la figura de la derecha tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es l, el cateto vertical es h y el cateto horizontal como la nave se mueve a velocidad v es vt. Entonces aplicando el teorema de Pitágoras:

Además como la velocidad de la luz es independiente del punto de vista:

Y juntando todo obtenemos:

El concepto  de agujero negro nace en 1796 de la mano de Laplace. La velocidad de escape de cualquier planeta o estrella depende de su masa M y se obtiene igualando la energía cinética de una partícula de masa m más su potencial en la superficie del planeta a 0 (que es su energía en reposo muy lejos del planeta).

Laplace pensó en una estrella cuya velocidad de escape fuese igual a la velocidad de la luz y, por tanto, la luz no podría escapar de esta estrella. Para eso haría falta que el radio de la estrella negra fuese:

Pero en la Relatividad NADA puede ir más deprisa que la luz, por lo tanto, cualquier cosa que este más cerca del centro que esta distancia R no puede escapar. Como nada de lo que sucede más allá de este punto se puede ver desde fuera, a esta frontera se la llama Horizonte de Sucesos.


El tiempo cerca del horizonte del agujero negro

Como hemos dicho antes las ecuaciones que obedece el espacio tiempo usan matemáticas parecidas a las que obedece un fluido. En algún sentido se puede considerar al espacio-tiempo como un liquido. Si nos dejamos caer a un agujero negro es como si nos dejáramos llevar a la deriva por la corriente; el espacio-tiempo nos arrastra. La velocidad de arrastre sería la de caída libre de un cuerpo en el campo gravitatorio:

Si no nos dejamos arrastrar y nos mantenemos a una distancia fija R es porque nos estamos moviendo a esa velocidad respecto del espacio-tiempo que se desliza bajo nuestros pies, estamos parados pero porque avanzamos contracorriente. Entonces existirá un desfase temporal entre dos puntos que estén a distintas distancias del agujero negro como sucedía en la película. Este desfase sigue la misma ecuación que el desfase entre dos objetos en movimiento:

Usando la definición del radio de Schwarzschild o del horizonte de sucesos queda de esta forma:

Otro día la curvatura de la luz cuando pasa cerca de una estrella y la temperatura de un agujero negro (efecto Hawking).

Pasa saber más

El artículo original de Einstein:  Die Feldgleichungen der Gravitation
Y su traducción al inglés: The field equations of Gravitation

Un esplendido libro de divulgación sobre la teoría de la relatividad especial escrito por Landau, un brillante físico teórico soviético que además, y esto es más raro, fue un gran divulgador: "¿Qué es la teoria de la relatividad?" Landau +Rummer

Artículo sobre la relatividad general (español): 25 de noviembre de 1915 – El artículo de Einstein