Epidemia de Fibonacci

Una sucesión es una lista de números. Tiene un primer elemento pero no tiene último número ya que continua indefinidamente. La sucesión de Fibonacci es  esta lista

 1,1,2,3,5,8.13.21,34,55,....

Hay varias formas de construir una sucesión. En este caso usamos dos términos anteriores sumados para calcular el término siguiente.

O sea una fórmula de recurrencia: a_n = a_n-1 + a_n-2

Dónde a₀ = 1 y a₁ = 1 son las semillas o condiciones iniciales

Si dibujamos esta serie en una gráfica vemos un crecimiento explosivo, o en palabras matemáticas exponencial




Cuando Fibonacci inventó su sucesión, la historia que había detrás justificando esta fórmula hablaba de un par de conejos y sus crías. Una auténtica plaga, no es ninguna tontería, preguntádselo a los australianos.

Pero ahora lo podemos actualizar a una historia vírica. La sucesión puede contar el número de contagiados así que empezamos con un contagiado el día 1, tras el periodo de incubación y con la suficiente carga viral el día 3 contagia a otra persona (ya son dos), luego el paciente 1 contagia a otra persona mientras el dos todavía está incubando (ya son 3) y así sucesivamente.

Y este comportamiento de reacción en cadena es el que nos da el comportamiento y el gráfico exponencial

¿Y donde está la típica fórmula exponencial a^x?
Vamos a suponer que la fórmula es  dónde no conocemos k y sustituimos en la fórmula  

a_n = a_n-1 + a_n-2

Y nos da la ecuación característica kⁿ = k^n-1 + k^n-2

kⁿ ➖ k^n-1 ➖ k^n-2 = 0

k^n-2( k² ➖ k ➖ 1) = 0

Las soluciones de esta ecuación  de 2º grado son: k ≅ 1,618  k ≅➖ 0,618

Al final, la fórmula que nos da la lista de números de arriba es una suma de estas dos opciones, y así nos aparece la exponencial

a_n = 0,724·1,618ⁿ + 0,276·(➖ 0,618)ⁿ

IMPORTANTE: quién se lea y entienda esto que no crea ahora que es un experto en epidemiología o virología. Este es lo que se llama un modelo de juguete (toy model)   que aunque ilustra algún aspecto particular (como la propagación exponencial) es demasiado sencillo para reflejar varias facetas de la realidad. Por ejemplo, en este caso los pacientes no dejan nunca de ser contagiosos

Ahora sabemos que en las epidemias víricas existe un número que mide la cantidad media que se contagia a partir de un contagiado en cada generación, llamado número de reproducción R que nos dice cuántas personas (de media) puede contagiar un individuo tras el periodo de incubación. Como este es un modelo MUY sencillo tenemos un primer error en que un contagiado no deja de ser contagioso nunca.

Lo que si podemos introducir en un número que cuantifique a cuanta gente se contagia en cada nueva generación. Y eso es lo que veremos en la próxima entrada.

Otros comportamientos exponenciales como en las burbujas y las crisis se ven en:

•  Darwin y Malthus (2): la burbuja demográfica y la crisis ecológica
    

Darwin y Malthus (2): la burbuja demográfica y la crisis ecológica

El crecimiento de una burbuja es típicamente un crecimiento explosivo, lo que los matemáticos y físicos llaman exponencial 

En la entrada anterior ya hablamos de este comportamiento, en particular de la sucesión geométrica de rapidísimo crecimiento y se relacionó con el crecimiento de la población de una especie sin depredadores y con recursos alimenticios ilimitados.

La fórmula que definía la sucesión geométrica es $s_n=a^n$ mientras que la que define la función exponencial es $\mathrm{f(x)}=a^x$

En ambos casos a es un número fijo, mientras que n y x representan la variable que puede tomar diversos valores representando el paso del tiempo. En el caso de n solo pueden ser los números naturales {0,1,2,...}, mientras que la x puede tomar cualquier valor con todos los decimales que sean necesarios (incluso ilimitados), o sea, los número reales.

Muchos fenómenos naturales y sociales tienen que ver con la función exponencial. Pero hay muchos más, entre otros los que hoy en día se describen con el término burbuja: económicas, bursátiles, inmobiliarias,...

Ya vimos en el post anterior el crecimiento poblacional. Miremos un caso concreto, el crecimiento de la población humana mundial: una burbuja demográfica.

La población mundial se duplica cada 35 años.

Un crecimiento claramente exponencial, especialmente durante los últimos dos siglos. Ya dijimos que para que se produzca este crecimiento explosivo es necesario que los recursos sean muy abundantes ¿qué ocurrió hace dos siglos para que se disparase el crecimiento? Básicamente la revolución industrial y el aprovechamiento de los combustibles fósiles tantos para la producción industrial, como para la agrícola y ganadera. Esta abundancia energética juega el papel de recursos ilimitados.

¿Para que se produzca una burbuja solo es necesario el crecimiento exponencial? Comparemos con otra burbuja famosa: la inmobiliaria. En este caso unos créditos baratos y unas políticas permisivas (recursos abundantes) dieron un crecimiento exponencial de la cantidad de las casas construidas y del precio de estas. Cuando el sistema llegó a su límite, colapsó rápidamente dejando créditos impagados por parte de las constructoras y las familias (deuda privada). Las familias se quedaron con su deuda (desahucios) y el estado asumió la deuda de las constructoras y bancos convirtiéndola en deuda pública, así las familias pagaban la deuda dos veces: la propia y la asumida por el estado.

Resumiendo, para que haya una burbuja es necesario que haya recursos que parezcan ilimitados que nos dan el crecimiento exponencial como síntoma. Cuando de alguna manera se ve que los recursos no son ilimitados, el sistema colapsa  bruscamente y no s manda a una situación mucho peor que si el crecimiento hubiese sido más lento y controlado. Si los recursos no son ilimitados cualquier crecimiento exponencial es una burbuja que explotará más pronto que tarde.

En el equivalente demográfico la explotación de los combustibles fósiles desde el comienzo de la revolución industrial ha dado los recursos ilimitados en los que se desarrolla la burbuja demográfica, pero estos recursos como las hipotecas subprime y otras trampas financieras tienen una duración limitada que conlleva el estallido brusco de la burbuja y sus consecuencias.

En el caso de la burbuja ecológica dejaremos a la próxima generación el pago de esa deuda en forma de cambio climático.

Darwin, Malthus y las matemáticas

El 12 de febrero se ha celebrado el día de Darwin, uno de los creadores de la teoría de la evolución basada en la selección natural (el otro fue Wallace). Sobre la figura de Darwin y la teoría de la evolución se pueden decir muchas cosas:

• Su polémica con los fanáticos religiosos, poco imaginativos respecto a sus propios dioses, que le atacaron sin descanso. Curiosamente, Darwin comenzó siendo un anglicano como tantos otros para terminar pensando que "el cristianismo era una doctrina detestable".
• El error de ver la evolución como algo dirigido hacia un objetivo. Evolución solo implica cambio y no intenta lograr ningún fin, salvo la supervivencia a corto plazo. De hecho, a veces se recuperan genes inactivos de la base de genes que es el ADN para aprovechar alguna antigua característica en una nueva función.

Pero ahora y aquí nos vamos a centrar en la influencia que tuvieron las matemáticas en la creación de esta teoría.

Durante bastante tiempo Darwin no se atrevió a publicar su teoría de la evolución porqué aunque tenía pruebas de la evolución de los seres vivos recogidos en su viaje en el Beagle y otras fuentes, no entendía el mecanismo que obligaba a los seres vivos a cambiar de la forma en que lo hacían. Había conseguido demostrarse a sí mismo que en el caso de los animales domesticados por los humanos la selección era una fuerza poderosa, pero ¿cuál podía ser su equivalente en la naturaleza?

Tras un periodo de trabajo intenso decidió relajarse leyendo el libro de Malthus Sobre la población.  Ya veis, algo ligerito. Exactamente en la página 104 de su Autobiografía Darwin escribe:

"En octubre de 1838, es decir, 15 meses después de haber iniciado mi indagación sistemática, leí por casualidad y para entretenerme el libro de Malthus Sobre la población, y como debido a mi larga y continua observación de los hábitos de los animales y las plantas, me hallaba bien preparado para darme cuenta de la lucha universal por la existencia, me llamó la atención enseguida que, en esas circunstancias, las variaciones favorables tenderían a preservarse, y las desfavorables a ser destruidas."

¿Y dónde entran aquí las matemáticas?

En sus estudios Malthus vio que la manera en la que pueden crecer la población humana y sus recursos agrícolas son muy, muy distintas. Simplificando se puede decir que cualquier población crece geométricamente siempre que haya recursos suficientes mientras que los propios recursos agrícolas de lo que dependen los humanos crecen en el mejor de los casos aritméticamente. Estas dos denominaciones se refieren a dos tipos de sucesiones distintas que responden a dos tipos de fórmulas muy distintas: las sucesiones son fórmulas en las que la variable es un número natural (0, 1, 2, ...) que en el caso de los estudios de Malthus se pueden identificar con los sucesivos años del estudio. Pues bien, en el caso de una sucesión aritmética la fórmula es s_n = a·n + b

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$S_n=2n+1$	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19

 $$
$\mathrm{ }$n es la variable que irá tomando valores {0, 1, 2, 3, ...} según pase el tiempo, mientras que a y b son números fijos cualesquiera.

Tanto en la gráfica como en la tabla se ve que cada año la producción alimentaria se incrementa en una misma cantidad.

Mientras que en el caso de una sucesión geométrica es s_n = aⁿ
 

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$s_n=2^n$	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512

Aquí se ve que el crecimiento de la población es mucho más rápido ya que cada cierta cantidad de años se duplica. Lo que nos lleva siempre al mismo final, independientemente de cuán abundantes fuesen los recursos inicialmente, más tarde o más temprano escasearán y se producirá una hambruna que diezmará la población.

Fuente: Autobiografía. Charles Darwin. Editorial Laetoli