El número de Juan

Este título nos lleva a dos preguntas: ¿Qué número es este? y ¿Quién es Juan? Empecemos por la segunda pregunta, como Groucho Marx.

Juan fue mi alumno durante una temporada hace unos años. Estaba cursando 4º de la E.S.O. y en una ocasión me dió una buena respuesta a una pregunta que planteé en clase cuando abordamos los número irracionales.

La pregunta consistía en "construir"  en forma decimal un número irracional, es decir, dar los decimales de un número irracional.

Pero, ¿qué es un número irracional? Un matemático diría: "Muy fácil. Es un número que no es racional". Esta persona vería nuestra expresión e intentaría explicarse de una forma menos críptica: "Bueno, quiero decir que es un número que no hay forma de escribir como fracción". ¡Ah!

Atendiendo a su forma decimal existen tres tipos de números que se pueden escribir como fracción:

• Números enteros: sin parte decimal. Siempre se puede poner como denominador el 1. Por ejemplo, el número entero 2 = 2/1
• Números decimales exactos: la parte decimal se acaba.Por ejemplo, 2,14 = 214/100 
• Números decimales periódicos: la parte decimal no se acaba nunca, pero se repite siempre las mismas cifras. Por ejemplo, 4,5555... = 41/9

¿Quieres saber como calcular de la fracción correspondiente aun número decimal?

Así que los números decimales que nos quedan y, por tanto, son irracionales cumplen primero que no acaban nunca (cifras decimales ilimitadas) y no tienen ningún  patrón de repetición. Con estas condiciones a Juan se le ocurrió el siguiente número

0,1234567891011121314151617... 

que en efecto es irracional puesto que está claro que no contiene ninguna repetición. Hay muchos otros, como 0,10010001..., de hecho los números irracionales abundan más que los racionales aunque sean menos conocidos por el común de los mortales.

Lo recordé hace unos meses en la feria del libro al ver un libro de historia de la matemáticas en la que se asociaba un hecho matemático con cada año. Así en el año 1933  me encontré con este número que es conocido como número de Champernowne C₁₀ y se demostró que es un número trascendente que es un paso más allá de la irracionalidad en las rarezas de los números. Y no solo es trascendente, sino que tiene muchas propiedades, entre otras y a pesar de lo dicho anteriormente sobre las rarezas de los números es un número normal.

Bueno  Champernowne se adelantó a mi alumno solo por unos 70 años.