Darwin, Malthus y las matemáticas

El 12 de febrero se ha celebrado el día de Darwin, uno de los creadores de la teoría de la evolución basada en la selección natural (el otro fue Wallace). Sobre la figura de Darwin y la teoría de la evolución se pueden decir muchas cosas:

• Su polémica con los fanáticos religiosos, poco imaginativos respecto a sus propios dioses, que le atacaron sin descanso. Curiosamente, Darwin comenzó siendo un anglicano como tantos otros para terminar pensando que "el cristianismo era una doctrina detestable".
• El error de ver la evolución como algo dirigido hacia un objetivo. Evolución solo implica cambio y no intenta lograr ningún fin, salvo la supervivencia a corto plazo. De hecho, a veces se recuperan genes inactivos de la base de genes que es el ADN para aprovechar alguna antigua característica en una nueva función.

Pero ahora y aquí nos vamos a centrar en la influencia que tuvieron las matemáticas en la creación de esta teoría.

Durante bastante tiempo Darwin no se atrevió a publicar su teoría de la evolución porqué aunque tenía pruebas de la evolución de los seres vivos recogidos en su viaje en el Beagle y otras fuentes, no entendía el mecanismo que obligaba a los seres vivos a cambiar de la forma en que lo hacían. Había conseguido demostrarse a sí mismo que en el caso de los animales domesticados por los humanos la selección era una fuerza poderosa, pero ¿cuál podía ser su equivalente en la naturaleza?

Tras un periodo de trabajo intenso decidió relajarse leyendo el libro de Malthus Sobre la población.  Ya veis, algo ligerito. Exactamente en la página 104 de su Autobiografía Darwin escribe:

"En octubre de 1838, es decir, 15 meses después de haber iniciado mi indagación sistemática, leí por casualidad y para entretenerme el libro de Malthus Sobre la población, y como debido a mi larga y continua observación de los hábitos de los animales y las plantas, me hallaba bien preparado para darme cuenta de la lucha universal por la existencia, me llamó la atención enseguida que, en esas circunstancias, las variaciones favorables tenderían a preservarse, y las desfavorables a ser destruidas."

¿Y dónde entran aquí las matemáticas?

En sus estudios Malthus vio que la manera en la que pueden crecer la población humana y sus recursos agrícolas son muy, muy distintas. Simplificando se puede decir que cualquier población crece geométricamente siempre que haya recursos suficientes mientras que los propios recursos agrícolas de lo que dependen los humanos crecen en el mejor de los casos aritméticamente. Estas dos denominaciones se refieren a dos tipos de sucesiones distintas que responden a dos tipos de fórmulas muy distintas: las sucesiones son fórmulas en las que la variable es un número natural (0, 1, 2, ...) que en el caso de los estudios de Malthus se pueden identificar con los sucesivos años del estudio. Pues bien, en el caso de una sucesión aritmética la fórmula es s_n = a·n + b

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$S_n=2n+1$	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19

 $$
$\mathrm{ }$n es la variable que irá tomando valores {0, 1, 2, 3, ...} según pase el tiempo, mientras que a y b son números fijos cualesquiera.

Tanto en la gráfica como en la tabla se ve que cada año la producción alimentaria se incrementa en una misma cantidad.

Mientras que en el caso de una sucesión geométrica es s_n = aⁿ
 

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$s_n=2^n$	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512

Aquí se ve que el crecimiento de la población es mucho más rápido ya que cada cierta cantidad de años se duplica. Lo que nos lleva siempre al mismo final, independientemente de cuán abundantes fuesen los recursos inicialmente, más tarde o más temprano escasearán y se producirá una hambruna que diezmará la población.

Fuente: Autobiografía. Charles Darwin. Editorial Laetoli

Cosas variadas sobre derivadas

Una entrada rápida para mis alumnos de 2º de bachillerato. Como os prometí aquí están las soluciones de las derivadas propuestas esta mañana.

Esperemos que vuestros intentos se parezcan a estas soluciones. Tened en cuenta que puede haber alguna pequeña variación en el proceso de cálculo algebraico tras el cálculo, propiamente dicho, de la derivada.

Son tres imágenes:

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• Página 2
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También se puede encontrar esto mismo el otro blog con la etiqueta 2Bach

Para cualquier duda o consulta, los comentarios de esta entrada o flobo@educa.madrid.org

El señor Rajoy y la falta de desigualdad

Bueno, para ser exactos estaríamos hablando de la falta de información sobre la desigualdad. Hace unos días el señor Rajoy, presidente del gobierno de España, concedía una entrevista al periódico El PAÍS, y en ella,  a las preguntas sobre el aumento de la desigualdad (económica y social, e incluso educativa)  en España en los últimos años respondía argumentando que no hay herramientas suficientes para analizar el crecimiento de la desigualdad. No sé si se refería que el gobierno no dispone de información, a lo que tendría que contestar el INE (Instituto de Estadística de España) o a que  no existen esas herramientas matemáticas. Respecto a lo último puedo dar unas pinceladas que ayudarán a personas legas en matemáticas y estadística; con respecto al sr. presidente no sé si estará versado en estas materias pues no conozco el temario de la oposición a registrador de la propiedad, aunque hoy en día si aparece en 4º de la ESO y en las matemáticas de bachillerato.

Desde el punto de vista de la estadística pura como rama de la matemáticas, todo conjunto de datos se puede caracterizar midiendo una serie de parámetros o magnitudes. Algunos de estos parámetros miden grosso modo dónde están los datos. Estos parámetros son llamados de centralización  como la media, la mediana o la moda. Pero también hay otros parámetros que nos dicen como se distribuyen estos datos, es decir si están muy repartidos o muy concentrados. A los parámetros que miden la distribución de la magnitud que se este estudiando se les llama parámetros de dispersión entre ellos está por ejemplo, la desviación típica, la varianza, el rango, la covarianza, el coeficiente de correlación de Pearson, la desviación media respecto de la media o de la mediana, el coeficiente de variación  o el coeficiente de Gini. No son pocos y todos ellos miden alguna faceta de la desigualdad. En general, cuanto mayor es la magnitud mayor es la variablidad o dispersión de los datos.

Para medir la desigualdad en algunas ocasiones podemos "inventar" fórmulas basadas en estos parámetros o en los de centralización, no tan extendidas y habituales como las anteriores pero que se adapten bien a nuestras circunstancias. Por ejemplo, se puede medir la desigualdad en el enriquecimiento de la población comparando el percentil 10 con el percentil 90 mediante una división. Recordemos que, en este caso,  el percentil 10 nos dice cuánto gana la persona que está sobre el 10% de la población y el percentil 90 lo que gana quién está por encima del 90% de la población.

Imaginemos que la magnitud estudiada fuese el dinero estos parámetros que dicen si la renta está muy repartida o poco, medirían también la desigualdad económica. Evidentemente un solo parámetros quizás no nos de una visión completa, pero como cada uno arroja luz sobre una faceta del problema se puede seleccionar varios para tener una visión ponderada dependiendo de en que factores nos queremos fijar. Por otro lado algunos de estos parámetros serán más fáciles de calcular o menos dependiendo de los datos económicos o sociales que usemos.

Otros artículos relacionados o con la entrevista al sr. Rajoy o con el tratamiento de la desigualdad en la estadística:

I. Escolar: Datos sobre la desigualdad que Rajoy no quiere ver
Qué poco se habla de cómo se reparte el dinero
La estadística, esa arma "letal"
El sesgo, ¿es el nombre de un ogro?

Un poco de música, física y matemáticas

Cuál si fuese un personaje de "The Big Bang Theory" aquí está este señor cantando "Bohemian Gravity", parodia-homenaje cuántico-relativista a Queen ¿o a Queentum?

A continuación una pequeña aclaración sobre algunos términos de la letra:

Teoría de cuerdas: en las teorías de partículas se suponía que el mundo estaba formado por un montón de partículas moviéndose sobre el escenario (espacio-tiempo). Las partículas son puntitos sin o casi sin extensión pero con masa y alguna otra característica (spin, carga, etc). En las teorías de cuerdas las cosas que están sobre el escenario son cuerdas, es decir, cosas con una dimensión que tienen tensión y que pueden vibrar con distintas frecuencias (como las de un violín) para dar lugar a objetos con distintas propiedades (como la masa que sería mayor cuanto mayor fuese la frecuencia de vibración).

Manifold : variedad, conjunto de puntos, si tuviese dos dimensiones sería un plano o una superficie curva, pero en la teoría de la relatividad (gravitación de Einstein) la variedad que es nuestro universo tiene 4 dimensiones (3 del espacio y una temporal) y en las teorías de la física moderna hay unas cuántas dimensiones más. Por estas variedades se pueden mover puntos (o sea partículas), cuerdas o cosas más raras.

 Dimensiones extra: son las dimensiones que se añaden a las cuatro conocidas para esconder en ellas el resto de Fuerzas que hay en el universo, aparte de la gravedad. En la teoría de la relatividad general tenemos una variedad 4D curva por la que se mueven partículas. En esta variedad las partículas se mueven por los caminos más cortos, para ello hace falta un objeto llamado métrica que nos permite medir las distancias. este objeto es una tabla de 4x4 números. Si añadimos una dimensión más, nos quedaría una tabla de 5x5, lo cuál nos deja sitio para otras 5 funciones entre las cuales estaría el vector potencial electromagnético A de cuatro componentes que nos da los campos electromagnéticos (Teorías de Kaluza-Klein). Si seguimos aumentando las dimensiones del Universo y el tamaño de la tabla métrica nos queda sitio para meter más fuerzas.

Compactificación de dimensiones: El problema con añadir más dimensiones está en la pregunta ¿Y dónde están?
Están aquí mismo pero no las vemos porque son muy pequeñas, están enrolladas sobre sí mismas en forma de circunferencia con un diámetro muy, muy, muy pequeño (de unos 10⁻³³ cm, la llamada longitud de Planck). Se pueden ver como si en cada punto de la variedad M tuviéramos una circunferencia, es decir, para cada punto del Universo identificado  por largo, ancho, alto e instante de tiempo tenemos una circunferencia en la que se mueve la quinta posición entre valores de 0 y muy poco. No se podría ver el movimiento en esta dimensión, pero su efecto sería la aparición de las ecuaciones del campo electromagnético de Maxwell afectando a las partículas cargadas.

Topología: se llaman características topológicas de una variedad a las que  nos permiten saber si dos puntos están cercanos  o no, o comparar la cercanía entre dos pares de puntos; pero sin poder medir ninguna distancia entre ellos. Esto último sería una propiedad geométrica.


Topología MxS¹: serían las propiedades topológicas correspondientes a una variedad de 5 dimensiones en la que asociada a cada punto de una variedad de 4 dimensiones hubiese una circunferencia en la cual se moviese la quinta variable x_5. 
La topología de un línea sería la de la recta numérica real, ya que cada punto se podrían asociar con un número real,  y se representa por R. Si en cada punto de esta línea incrustamos una circunferencia que se representa con el símbolo S¹, obtendríamos una topología representada con RxS y que en términos más sencillos correspondería a un cilindro.
S³ corresponde a una "esfera" de 3 dimensiones , y S⁵ a una "esfera" de 5 dimensiones.

Taquión: hipotética partícula con masa imaginaria múltiplo de $i=\sqrt{-1}$ que se mueve a mayor velocidad que la luz. Curiosamente con energía cero se moverían a velocidades infinitas, pero cuánto mayor fuese su energía más lentamente se movería siendo la velocidad de la luz un límite inferior que solo se alcanzaría con energías infinitas e inalcanzables. Justo al revés que en nuestro mundo de tardiones (este término existe realmente).

Dilatón: una partícula asociada a un campo escalar relacionado con el periodo inflacionario que se produjo inmediatamente después del Big Bang, y que hizó que nuestro Universo pasase de un tamaño minúsculo (menos que atómico)  a un tamaño macroscópico de una naranja mediante un crecimiento exponencial, por ejemplo, que cada billonésima de segundo se duplicase el diámetro del Universo. En realidad, por lo que se sabe, el tiempo de duplicación fue muy inferior a una trillonésima de segundo.

Próximamente en sus pantallas más conceptos como:

Renormalizable:

Cancelación de la anomalía:

Polyakov:

Variedad de Khäler:

Paradojas loteras y profecías autocumplidas

Se acerca la Navidad y la necesidad que muchos españoles mostramos por donar dinero al Ministerio de Hacienda a través de la (aún pública) empresa de Loterías del Estado.

En estas fechas se ve la predilección que algunas personas muestran por comprar su décimo en alguna administración particular en la que creen que toca el premio con mayor facilidad como "Doña Manolita" en Madrid o "La Bruixa de Sort" en Sort (Lleida). Lo curioso es que en realidad tienen razón y, sin embargo eso no va a facilitar que su número sea el premiado.

Dicho de otra forma, si mucha gente compra sus décimos en esas administraciones es más probable que el Gordo caiga en ellas sin que ello implique que la gente que compra sus números allí lo tengan más fácil que si lo comprasen en su pueblo. Parece contradictorio pero no lo es. Es  lo que los filósofos y matemáticos llaman una paradoja.

Imaginemos un caso extremo. Se centralizan todas la ventas de lotería de Navidad en la administración de un pueblo, y toda España y parte del extranjero compran en esa administración. En ese caso seguro que el Gordo cae en esa tienda, pero la probabilidad de que le toque a uno de los clientes será la misma que si no se hubiese centralizado la venta ya que entran los mismos números en el bombo y todos tienen las mismas posibilidades de salir.

Al concentrar los números vendidos en unas pocas tiendas, la probabilidad de que el gordo caiga en ellas aumenta. Si la mitad de los números se vendieran en una administración la probabilidad de que cayese allí el gordo sería de 0,5; la misma de que saliese cara al lanzar una moneda, pero esa probabilidad se distribuiría entre muchos números y finalmente la probabilidad de acertar con el bueno sería la misma.

De tal forma que la obsesión por intentar comprar en una administración en la que ya ha caído el Gordo aumenta la probabilidad de que el Gordo vuelva a caer en el mismo lugar. Esto es lo que se llama una profecía autocumplida. Pero esto no redunda en nuestro beneficio, aunque sí en el del dueño de la administración de lotería que estará encantado de que la gente no sepa la suficiente probabilidad para entender esto, y se deje llaver por la superstición.

Buenas vacaciones de invierno y feliz cumpleaños de Jesús, de Newton y de Bogart.

Porcentajes y medicina

Ayer encontré en una revista un interesante reportaje sobre un análisis genético que permite detectar en el feto trisomías (anomalías cromosómicas) con una simple extracción de sangre de la madre. Esto es una moderna alternativa a la actual amniocentesis, un procedimiento más arriesgado ya que existe un riesgo de aborto del 1%.

 Se puede acceder al artículo completo a través de este enlace: ¿Análisis o amniocentesis?

El reportaje está muy bien, pero (siempre hay un pero) en medio de él se podía leer esto:

Según explica el doctor Izquierdo, “solo en una de cada 50 mujeres que van a una prueba invasiva se encuentra algún problema. El 49% restante se ha sometido a una amniocentesis innecesaria”.

¿49 de 50 es el 49%? ¿No os parece demasiado poco? Un 49% no llega a la mitad, y sin embargo 49 de 50 es una proporción muy alta. En realidad el porcentaje correcto correspondiente a 49 de 50 es 98%, y no 49%. Echemos cuentas mediante fracciones:

$\frac{49}{50}=\frac{2·49}{2·50}=\frac{98}{100}=\mathrm{98\%}$

Aquí se ha usado fracciones equivalentes y el hecho de que, al fin y al cabo, un porcentaje no es más que una fracción con denominador fijo e igual a 100.

Evidentemente la intuición es muy distinta. Un porcentaje del 98% es casi la totalidad, mientras que 49% es solo la mitad.

Enlaces PAU

Para mis estudiantes de 2º de bachillerato dejo algunos enlaces útiles a antiguas (y no tan antiguas) pruebas de la PAU, algunas con solución:

Universidad de Alcalá PAU
Universidad Carlos III
Universidad Autónoma de Madrid
En el último caso, aunque ponga Alemán en el título son exámenes de Matemáticas aplicadas a CCSS

Próximamente más.