Porcentajes y medicina

Ayer encontré en una revista un interesante reportaje sobre un análisis genético que permite detectar en el feto trisomías (anomalías cromosómicas) con una simple extracción de sangre de la madre. Esto es una moderna alternativa a la actual amniocentesis, un procedimiento más arriesgado ya que existe un riesgo de aborto del 1%.

 Se puede acceder al artículo completo a través de este enlace: ¿Análisis o amniocentesis?

El reportaje está muy bien, pero (siempre hay un pero) en medio de él se podía leer esto:

Según explica el doctor Izquierdo, “solo en una de cada 50 mujeres que van a una prueba invasiva se encuentra algún problema. El 49% restante se ha sometido a una amniocentesis innecesaria”.

¿49 de 50 es el 49%? ¿No os parece demasiado poco? Un 49% no llega a la mitad, y sin embargo 49 de 50 es una proporción muy alta. En realidad el porcentaje correcto correspondiente a 49 de 50 es 98%, y no 49%. Echemos cuentas mediante fracciones:

$\frac{49}{50}=\frac{2·49}{2·50}=\frac{98}{100}=\mathrm{98\%}$

Aquí se ha usado fracciones equivalentes y el hecho de que, al fin y al cabo, un porcentaje no es más que una fracción con denominador fijo e igual a 100.

Evidentemente la intuición es muy distinta. Un porcentaje del 98% es casi la totalidad, mientras que 49% es solo la mitad.

Enlaces PAU

Para mis estudiantes de 2º de bachillerato dejo algunos enlaces útiles a antiguas (y no tan antiguas) pruebas de la PAU, algunas con solución:

Universidad de Alcalá PAU
Universidad Carlos III
Universidad Autónoma de Madrid
En el último caso, aunque ponga Alemán en el título son exámenes de Matemáticas aplicadas a CCSS

Próximamente más.

La ley D'Hont, las circunscripciones y las reformas electorales

En estos días se está produciendo en España varios intentos de cambiar la ley electoral con diversos motivos o excusas: ahorro, representatividad,  acercamiento del diputado a sus votantes... Dos ejemplos son la reducción de diputados en Castilla-La Mancha para "ahorrar" (El pucherazo de Cospedal) o la creación de circunscripciones en la Comunidad de Madrid (Gallardón defiende cambiar la ley electoral en Madrid para que haya un diputado por circunscripción).

La democracia depende mucho de las matemáticas. En particular, para una democracia representativa es necesario usar las matemáticas para asignar el número "correcto" de diputados a cada partido político, lo cual tiene importante influencia en la fuerza de cada partido y en el juego democrático de consensos y alianzas.

Una forma sencilla de hacerlo sería usando una simple ley proporcional:

$\mathit{n. }\mathit{escaños} \mathit{partido }A=\frac{\mathit{Votos} \mathit{partido}A}{\mathit{Votos }\mathit{totales }\mathit{emitidos}}·(\mathit{escaños }\mathit{totales})$

Cuántos más votos obtiene un partido mayor será su porcentaje sobre el total de diputados de la cámara. Por desgracia, esto puede darnos fácilmente números decimales. Y está feo cortar diputados, sobre todo en algunos casos.

Para evitarlo se inventaron procedimientos como la ley D'Hont que nos permiten asignar los diputados siguiendo una ley aproximadamente proporcional pero obteniendo siempre números naturales. Los pasos que hay que seguir en la ley d'Hont para asignar escaños son lo siguientes:

1. Asignamos el primer escaño al partido más votado (el partido A).
2. Dividimos el número de votos del partido A al que hemos asignado el escaño entre 2.
3. Asignamos el siguiente escaño al partido que más votos tenga AHORA.
4. Dividimos el número de votos del partido al que hemos asignado el último escaño entre el número de escaños que tiene más uno.
5. Repetimos el paso 3 y 4 hasta que se agoten todos los escaños

Durante muchos años se ha hablado también de la falta de proporcionalidad de la ley electoral española que hace que los escaños no cuesten el mismo número de votos a todos los partidos.Mucha gente piensa que el único y principal culpable es la llamada ley d'Hont. Veámoslo con números.

En la primera fila se usa el sistema proporcional simple redondeando el resultado a números naturales, tiene el defecto de que el número de escaños no se ajusta a los 350 de la cámara sino a 349. La segunda fila corresponde a los porcentajes sobre el total de escaños que ofrece el sistema proporcional. La tercera fila nos da los resultados de la ley d'Hont sin circunscripciones. En la cuarta y quinta fila encontramos la diferencia porcentual con el sistema proporcional, pero en la cuarta respecto al total de escaños y en la quinta fila respecto a los escaños obtenidos por el sistema proporcional. En las siguientes filas tenemos lo mismo, pero referido a los escaños obtenidos realmente ne las elecciones de 2008 aplicando la ley d'Hont con las circunscripciones provinciales vigentes en España.

	PSOE	PP	IU	CIU	ERC	BNG	PNV	CC	NaBai	UPD	Total
Proporcional Simple	160	146	14	11	4	3	4	2	1	4	349
Porcentaje (%)	45,71	41,71	4	3,14	1,14	0,86	1,14	0,57	0,29	1,14
D'Hont sin circunscripciones	162	147	13	11	4	3	4	2	0	4	350
Diferencia porcentual Con proporcional	0,57	0,29	-0,29	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-0,29	0,00
	1,25	0,68	-7,14	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-100	0,00
D'Hont con circunscripciones	169	153	2	11	3	2	6	2	1	1	350
Diferencia porcentual Con proporcional	2,57	2,00	-3,43	0,00	-0,29	-0,29	0,57	0,00	0,00	-0,86
	5,63	4,79	-85,71	0,00	-25,00	-33,33	50,00	0,00	0,00	-75,00

En ambos casos , con y sin circunscripciones provinciales, existen anomalías y desviaciones respecto de la proporcionalidad pura, estas desviaciones son claramente mayores cuando tenemos circunscripciones provinciales aunque en ambos casos se aplique la ley d'Hont.


Todos estos resultados se han obtenido usando hojas de cálculo:

• Ley d'Hont España 2008 (formato ods libreoffice)
• Ley d'Hont España 2008 (formato xls excel)

Datos  relativos a las elecciones generales de 2008:
Elecciones Generales España 2008

Con los datos reales de las elecciones autonómicas de Madrid y castilla-La Mancha (2011) y modificando ligeramente estas hojas, se podría ver el efecto de los cambios sugeridos a las leyes electorales en los escaños obtenidos por los partidos que se presentaron a aquellas elecciones incluido el partido que ahora tiene en su mano la mayoría absoluta y la posibilidad de llevar a cabo estos cambios legislativos.

Gráficas mentirosas

¿No veis nada raro en estas gráficas?

Es otro ejemplo, y reciente, sobre el uso indebido de gráficas estadísticas "mal hechas". Podéis leer un un completo análisis de Joaquín Sevilla en este artículo Mentiras gráficas, probablemente intencionadas

Pensiones y más porcentajes encadenados

En estos momentos en España se está debatiendo el cambio, mejor dicho, se está cambiando el sistema público de pensiones. Según los que pretenden reformarlo, porque es insostenible, aunque a veces parece que sencillamente se desmonta para dar oportunidad de negocio a otros elementos en este mercado.

En esta reforma se ha planteado la posibilidad de aumentar las pensiones como mínimo un 0,25%, lo que se presenta como un gran avance ya que hace unos años las pensiones quedaron congeladas (sin subida), debido a la crisis. Así visto, mejor una subida en un año del  0,25% que un 0%. Pero, ¿realmente es tan bueno? Si uno toma un solo año sí, pero vamos a tomar un  periodo más largo para comparar y no quedarnos en lo obvio.

Escojamos el periodo 2009 2011, ya inmersos en la crisis y coronado por la congelación del 2011. Los incrementos de las pensiones en ese periodo fueron:

• 2009: 2,4%
• 2010: 1,3%
• 2011:    0%

¿Qué subida total hubo con estos porcentajes anuales y de cuánto sería si el porcentaje hubiese sido todos los años de 0,25%?

$\begin{array}{c}\mathit{subida }\mathit{con }\mathit{variaciones}=\left(1+\frac{\mathrm{2,4}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{1,3}}{100}\right)\left(1+\frac{0}{100}\right)=\mathrm{1,037312}\\ \mathit{subida} \mathit{constante }\mathit{de }\mathrm{0,25}\% \mathit{anual}=\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{0,25}}{100}\right)=\mathrm{1,007518766}\end{array}$

A pesar de la congelación del 2011, los 100 € de 2008 serían 103,73 € en 2012, mientras que después de tres subidas idénticas de 0,25% los 100 € se habrían convertido en 100,75 €.

¿Cuál sería el porcentaje anual medio de aumento en el primer caso?
Parece fácil: se suma los porcentajes y se divide entre 3, y ya está. Pues no, existen muchos tipos de medias y esta no es la correcta en este caso, aunque la diferencia entre este cálculo erróneo y el correcto es muy pequeña esta vez.

La media aritmética cumple la fórmula relacionada con la suma:

$\mathit{media }\mathit{aritmética}=\frac{a+b+c}{3}$

Mientras que la media correcta en este caso, la media geométrica está más relacionada con la multiplicación de varios factores que es justo lo que nos interesa cuando trabajamos con porcentajes encadenados

$\mathit{media} \mathit{geométrica}=\sqrt[3]{a·b·c}$

Aplicándolo a este caso, nos queda que en los años 2009-2011 la subida total equivale a una subida media anual de 1,2%:

$\sqrt[3]{\left(1+\frac{\mathrm{2,4}}{100}\right)\left(1+\frac{\mathrm{1,3}}{100}\right)\left(1+\frac{0}{100}\right)}=\sqrt[3]{\mathrm{1,024}·\mathrm{1,013}·1}=\mathrm{1,012285775}\approx \mathrm{1,012}$

Es decir, mayor que 0,25% a pesar de la congelación de 2011. Eso sí, esa subida del 1,2% fue probablemente inferior a la inflación. Y a partir de ahora será aún menor. 

Noticias sobre las subidas de las pensiones en el periodo 2009-2011:

• La subida de la pensiones para 2008, las cuales se revalorizarán entre el 4,1 y el 6,5%.
• Las pensiones suben desde enero entre un 2,4 por 100 y un 7,2 por 100
• El Gobierno aprueba una subida del 1,3% para todas las pensiones y el salario mínimo
• Congelación de pensiones 2011

¿Punto de inflexión en economía o punto de inflexión en matemáticas?

En España los responsables de la economía (de alguna forma hay que llamarlos) hablan mucho últimamente de que se acerca un punto de inflexión, un cambio de tendencia (ver Montoro ve un punto de inflexión y piensa que "la economía está tocando fondo" o Montoro prevé un punto de inflexión de la economía en el segundo trimestre). Parece que pretenden insinuar que el estado de la economía española va a pasar de bajar a subir, de PIB decreciente a PIB creciente. Esto es lo que en teoría de funciones, o sea las típicas gráficas que se ven en 1º de bachillerato, se llama un mínimo relativo. También existe el máximo relativo, y en general, los estremos relativos. En el dibujo de la función o gráfica corresponde al fondo del valle entre dos montañas. Si estamos en el mínimo, nos movamos dónde nos movamos siempre subimos. O si avanzamos de izquierda a derecha, que es como se leen las gráficas en matemáticas, primero bajamos, pasamos por el mínimo y luego subimos. Hasta aquí, todo bien. Ojala suceda esto.

El problema es que si uno hace caso a los libros de matemáticas o a wikipedia y miramos la definición de punto de inflexión nos encontramos con que lo que pretenden insinuar estas personas no es lo que dice este concepto. Un punto de inflexión ocurre, por ejemplo, cuando una gráfica desciende (siempre avanzando de izquierda a derecha) se frena durante unos instantes, y vuelve a caer cada vez más deprisa. O viceversa.

Mi duda: ¿se equivocan cuando hablan de punto de inflexión porque no controlan el concepto matemático de 1º de bachillerato o aciertan en el uso de la expresión punto de inflexión y somos los demás los que los malinterpretamos cuando abrigamos esperanzas de una próxima subida del PIB?

Improbabilidades cotidianas

Hace unos días se ha publicado un artículo que encaja en lo tratado en este blog: Las probabilidades matemáticas de que lo de la infanta sea “un error” de Ignacio Escolar. En ese artículo se conjuga actualidad y unos cuántos resultados matemáticos sobre probabilidad. Trata sobre los curiosos errores cometidos alrededor de unas propiedades atribuidas a una infanta de la Casa Real española. Lo que nosotros vamos a abordar aquí son los razonamientos y cálculos que llevan a los resultados aportados en ese artículo.

Primero establezcamos una hipótesis sobre lo ocurrido para poder construir los cálculos. Se supone que se han cometido 4 errores independientes por parte de distintas personas al transcribir un número de un documento oficial (el famoso NIF) a una página web que un notario o un registrador de la propiedad deben cumplimentar con los datos de la venta de la propiedad. La cantidad de números disponibles para este NIF son 46 millones. Por tanto la probabilidad de equivocarse una vez sería de 1 entre 46 millones. Si se repite el error siempre con el mismo número equivocado la probabilidad sería de 1 entre 46 millones elevado a 4, es decir, una inmensa cantidad de posibilidades al repetir un número 4 veces:

${(\mathrm{46.000.000})}^4={(46·{10}^6)}^4={46}^4·{10}^{6·4}=4477456·{10}^{24}=\mathrm{4.477.456.000.000.000.000.000.000.000.000}$

Y la probabilidad sería exactamente 1 entre este número, es decir, un número muy, muy, muy pequeño que representa una probabilidad muy baja:

$P=\frac{1}{{(\mathrm{46.000.000})}^4}\approx 2·{10}^{-31}$$$

Es decir, 0 coma 30 ceros más y después un 2. Hemos usado lo que se llama notación científica, una forma de escribir los número muy útil cuando se opera y escriben números muy grandes o muy pequeños.

Otro caso de improbabilidad cada vez más habitual en España está en el concurso que la Comunidad de Madrid llevó a cabo para privatizar la sanidad en su territorio (ver Seis ofertas para seis hospitales). En este concurso se ofertaba la gestión de 6 hospitales de la región a empresas sanitarias privadas o fondos de inversión (seguramente un buen negocio). Se han presentado 3 empresas que han optado a la gestión e distintos hospitales de la siguiente forma: tres para HIMA San Pablo, dos para Ribera Salud y uno para Sanitas. Curiosamente sin que haya habido competencia real entre ellas. ¿Cómo de probable es que sin haberse puesto de acuerdo no haya habido colisión entre sus intereses? Para responder a esta pregunta tendremos que calcular la probabilidad según la fórmula de Laplace, dividiendo la cantidad de maneras en las que se pueden repartir lols 6 hospitales (sin haber copincidencia) entre TODAS las formas en las que se pueden repartir los hospitales con coincidencia o sin ella. Aquí entra en juego una parte de la matemática llamada combinatoria.

Tengo disponible 6 hospitales ¿de cuántas formas puedo elegir dos? Tengo 6 hospitales disponibles, pero una vez elegido uno solo me quedan 5 para volver a elegir, en total, 6·5 = 30, entonces hay 30 formas de elegir 2 hospitales de 6. Pero como el orden no importa, o sea, da lo mismo elegir primero A y después B o a la inversa, tenemos que dividir entre 2. A esto se le llama combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2

$C_{\mathrm{6,2}}=\frac{6·5}{2}=15$

$\mathrm{ }$
Si llevamos a cabo este proceso 3 veces para elegir 3, 2 y 1 hospital me queda

$C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{6,2}}·C_{\mathrm{6,1}}=\mathrm{20·15·6}$

maneras de elegir 3 parejas sin tener en cuenta ninguna condición.

Ahora veamos cuántas formas hay de elegir sin que haya coincidencia. Primero elegimos un trio entre los 6 elementos de $C_{\mathrm{6,3}}$ maneras distitas. Ahora nos quedan 4 elementos de entre los que sacar una pareja, entonces habrá $C_{\mathrm{4,2}}$ formas de hacerlo. Y finalmente solo nos quedarán un elemento, elección que se podrá hacer de $C_{\mathrm{1,1}}$ formas distintas, en realidad solo una. La cantidad total de opciones se obtiene multiplicando los tres números:

 $C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{4,2}}·C_{\mathrm{1,1}}=20·6·1$

En este caso la probabilidad de este reparto se calcula dividiendo la cantidad de formas de repartir los 6 hospitales como buenos hermanos  $entre\; todas\; las\; formas\; posibles:$
$$ $$

$$ P=\frac{C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{4,2}}·C_{\mathrm{1,1}}}{C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{6,2}}·C_{\mathrm{6,1}}}=\frac{20·6·1}{20·15·6}=\frac{1}{15}\approx \mathrm{0,066}=\mathrm{6,6\%}$$

Estos números no son tan impresionantes como los de los cálculos anteriores, pero aún así este reparto entre buenos hermanos dejado al azar ocurriría una vez de cada 15.

Gracias a Mauricio Fernández Martínez que fue quién me planteo la pregunta básica:
¿Es muy probable que casualmente se repartan tan bien los hospitales entre las empresas?