Si compras un décimo en Madrid es más probable que te toque el Gordo

El título de la entrada es una frase escuchada hoy en una de las innumerables y aburridas noticias sobre el sorteo de la lotería de navidad. Depende de quién sea el gordo que te toque, pero si es el de la lotería lamento discrepar.

Todos sabemos, salvo la persona que dijo esto, que si compras un décimo siempre tienes las mismas probabilidades de que te toque independientemente del lugar en el que lo compres. Con la evidente excepción del Bar Antonio.

¿En que supuestos datos se basaron para decir esta falsedad matemática?

En Madrid ha tocado el gordo en 75 ocasiones (mucho más que en otros sitios). Por lo tanto si compró en Madrid es más probable que me toque ¡Mentira! Es más probable que toque en Madrid porque se vende más que en otros sitios, Pero como esa probabilidad se reparte entre más gente que compra en Madrid, al final la probabilidad para cada décimo es la misma. Como no podía ser de otra manera.

Buenas fiestas, y buen cumpleaños de Jesús, Newton y Bogart (por orden de supuesta aparición).

Misión Rosetta: Europa en un cometa

La primera sonda que aterrice en un cometa es europea. La misión Rosetta lanzada por la agencia europea del espacio (ESA por sus siglas en inglés) lleva un módulo que intentará descender a la superficie del cometa anclándose a él debido a la bajísima gravedad.

En este enlace se puede seguir minuto a minuto el descenso;

Principia marsupia: minuto a minuto aterrizaje en el cometa

La trayectoria de la sonda Rosetta durante todo el viaje se puede seguir en Where is Rosetta?

La sonda Philae ya tiene cuenta en twitter @Philae2014

El Sr. Rajoy ya casi sabe como medir la desigualdad (estadística)

En una reciente intervención del presidente de gobierno de España sobre el tema de la desigualdad, el Sr. Rajoy nos demostraba lo mucho que ha aprendido sobre esta faceta de la estadística en los últimos 6 meses (ver El señor Rajoy y la falta de desigualdad). Aparte de la demostración de su conocimiento sobre el índice de Gini y otros parámetros nos sorprendía con la afirmación de que la desigualdad había disminuido en nuestro país en el periodo 2012-2013

También hay un artículo de "La Razón" de marzo de 2014 que sigue un camino semejante y ve un optimista cambio de tendencia El Gobierno frena la desigualdad social, que creció 3,5 puntos con el PSOE

Es muy curioso que otros medios y organizaciones con datos semejantes digan lo contrario (ver al final). ¿Es posible? ¿Es razonable?¿Es verdad?

Voy a centrarme en el artículo de "La Razón". Para empezar estaría bien tener un enlace directo a los datos empleados para que así el lector informado pueda consultar fácilmente los datos y sacar sus propias conclusiones. En el artículo original no existe tal enlace así que lo pongo yo aquí mismo:

Coeficiente de Gini Eurostat
s80/s20 income quintil share Eurostat

Una cuestión muy curiosa es que en el artículo se nombra el parámetro s80/s20 para luego no volver a referirse a él ni dar ningún valor. Este parámetro es muy importante y básicamente es el cociente entre los ingresos del 20% más rico de la población y el 20% más pobre. ¿Ya que es importante y que se nombra por que no se usa? No sé, pero si vemos los valores para los últimos años se ve que certifican el crecimiento de la desigualdad. En 2012 el 20% más rico gana 7,2 veces lo que gana el 20% más pobre, frente al 5,1 de 2008. Eso sí, en 2013 tenemos una reducción al 6,3 lo que parece una mejora, pero esperemos al final de la entrada del blog para estar seguros.

El coeficiente de Gini se basa en la curva de Lorenz, una gráfica que da la distribución acumulada de ingresos frente a la población. Una distribución perfectamente equitativa daría la diagonal del cuadrado, de tal manera que el 20% de la población tendría el 20% de la riqueza y el 80% de la población tendría el 80% de la riqueza. A esta curva le correspondería un coeficiente de Gini nulo. Cualquier otra curva iría por debajo y cuanto mayor fuese el área  entre esa curva y la diagonal mayor sería la desigualdad. Exactamente el índice de Gini es el cociente entre esa superficie a de la desviación y la superficie total que hay por debajo de la diagonal (la mitad del cuadrado, un área de 0,5).

En cierta manera parece que ambos parámetros miden lo mismo, quizás Gini da más detalle pues tiene en cuenta no solo el 20% superior y el inferior. En el caso del coeficiente de Gini se ve un aumento de la desigualdad desde 2005 que se acentúa claramente al llegar la crisis (desde 31,9 hasta 35). Con una reducción en 2013 a 33,7.

¿Vamos por buen camino?

Fijémonos en que en la tablas de ambos parámetros para España en el año 2013 los valores llevan un superíndice b que quiere decir "break in time", es decir, ruptura en el tiempo debido a un cambio metodológico o de fuentes de datos, Eurostat nos avisa de que un investigador serio no puede compara este valor con los valores anteriores pues se han medido y/o elaborado de forma distinta. Solo se podrá comparar con valores posteriores. Supongo que un periodista o un político no tienen porque ser investigadores serios.

Significado superindices en las tablas Eurostat
Blog Salmón: ¿Qué el coeficiente de Gini?
La desigualdad en España (El País)
Informe OXFAM sobre desigualdad (huffingtonpost)

¿Qué es mejor un salario medio o mediano?

Mucha gente pensará que tiene un salario mediano, o incluso peor que eso. Y el 50% de la población acertará seguro. ¿Por qué? Porque esa es la definición de mediana en estadística: el valor o en este caso, el salario que está justo por encima del 50% de la población.

También habrá quien crea que el salario medio y el mediano son lo mismo. Pues no. De hecho, en España hay una diferencia de unos 4.000€ anuales entre ambos valores.

Siguiente pregunta: ¿Qué es mejor ganar un salario mediano o medio? Habrá quién piense que da lo mismo. Y aunque no hay mucha diferencia, en España es mejor ganar una salario medio que mediano. Ya que según las últimas estadísticas el salario medio en España es de 23.000 €/año y el mediano 19.287 €/año. Eso es debido a que en el cálculo del valor medio influyen más que en la mediana los valores extremos, es decir, tanto los valores muy altos como los muy bajos. En el caso de España la distancia entre los valores medios y medianos implica que hay algunas personas (pocas) cuyos sueldos son lo suficientemente altos como para aupar el salario medio por encima del salario mediano.

En el siguiente vídeo del programa "La Sexta Noche" se puede ver la explicación del economista José Carlos Díez sobre todas estas cuestiones:

Y en Gaussianos tenemos el post Cuando hables de salarios utiliza la mediana
dónde se explica todo lo relativo a medianas y medias acompañado de ejemplos concretos.

Otras noticias relacionadas con los salarios en España. Como se puede ver en los siguientes artículos los sueldos son menores en España que en la UE, y bajan con el tiempo.

• El salario medio español cae hasta los 22.726,44 euros en 2012
• El salario medio en España es un 15,34% inferior al de la Unión Europea
• El salario medio español bajó en 2013 por primera vez en 64 años

Las estadísticas del medio pollo

Hay un viejo chiste que dice que si yo me como un pollo y tú nada, según la estadística cada uno habremos comido medio pollo. Así que no sé porqué pones esa cara de hambre.

También existe una clasificación de mentiras que va en esa línea dividiéndolas en grandes, pequeñas y verdades estadísticas.

 ¿ Todo esto quere decir que la estadística es mentira o útil solo como herramienta de manipulación? No, porque se pueda mentir en español o alemán no pensamos que estos idiomas sean malos lenguajes. Bien, con la estadística ocurre lo mismo. De hecho las matemáticas implican una cierta coherencia interna que dificulta su uso para mentir. Pero la mentira está más en la intención del mentiroso y la ignorancia del engañado que en el lenguaje usado.

¿Porque tiene tan mala fama las estadística? ¿No deberían ser un ejemplo de herramientas para la búsqueda de la verdad? Aunque son chistes, mucha gente piensa que estudios burdos y  semejantes a este chiste que sí se hacen en la vida real son estadística, y no es así. Vamos a ver un ejemplo de uno de estos usos parcialmente correctos y parcialmente incorrectos de la estadística: el cálculo de la renta per capita. Aunque esta magnitiud esta más en boca de economista que de matemáticos es un ejemplo básico de aplicación de la media estadística. Esta magnitud pretende dar una idea de lo rico que es un país. En teoría cuánto mayor es la renta per capita más rico es el país. Se obtiene dividiendo la producción total del país (PIB) entre la población. Así que a grandes rasgos consiste en cuántos euros nos tocarían a cada uno si se dividiera equitativamente el dinero obtenido vendiendo todo lo que producimos.

Pero ya sabemos que en la realidad por unos motivos u otros, el dinero no se reparte por igual. ¿Si dos países distintos tienen la misma renta per capita son igual de ricos? En algunos sitios dirán que sí, pero esto es un ejemplo más de las estadísticas del medio pollo.

Veamos un típico ejemplo que uso en mis clases de bachillerato, dos países (imaginarios) con dos graficas en las que se ve como se reparte la riqueza. Es fácil ver la diferencia entre ambos: en la gráfica A una gran parte del dinero del país  lo tiene una pequeña parte de la población (vease el salto en el eje horizontal hasta ingresos de 29.000.000 € que afecta solo a 1857 habitantes, tan pocos que la altura del rectáguilo qu elos representa casui no se ve) y en el gráfico B está mucho más repartido. Realmente, ¿cuál es más rico? Bien, si uno asume que caer en una franja de la población es una cuestión de azar es mejor vivir en el país más equitativo B, la probabilidad de vivir razonablemente bien es mayor, además si el dinero está más repartido el consumo será mayor y la economía irá mejor.

En todo caso la sensación de riqueza y la información crucial no es cuestión de una simple división (la media) sino del estudio de la desigualdad. Aunque la gente no lo sepa existen muchas maneras de medir esta desigualdad en estadística, a pesar de que no se suela comunicar en los artículos dirigidos a la población y sean poco usados. Una es la desviación típica, y últimamente se usa mucho en ciencias sociales un parámetro llamado coeficiente de Gini, probablemente porque sea más fácil de calcular con los datos disponibles en los censos y encuestas.

Para ver los cálculos y los datos usados en los gráficos:
Desigualdad Renta per Capita (formato libreoffice ods)
Desigualdad Renta per Capita (formato pdf)
Artículo de V. Navarro El impacto negativo de las desigualdades en el desarrollo económico 

¿Es mejor comprar una casa ahora o hace cuatro años?

Desde el comienzo de la crisis inmobiliaria española, allá por el año 2009, se viene diciendo que se llegaría a un mínimo en el precio de los pisos y ESE sería el momento más apropiado para comprar barato. Algunas personas dicen que ese momento ya ha llegado, así que ahora en 2014 (o en 2013) sería el momento de comprar barato. Obvio. ¿O no?

Quiero decir ¿es el precio de la vivienda el único parámetro que hay que tener en cuenta para comprar barato un piso?

Desde mi punto de vista no, ¿porqué?

La mayor parte de nosotros no puede comprar una casa al contado (si eres de los que sí pueden comprar una casa al contado lo que viene a continuación no te afecta), casi siempre se pide una hipoteca a un banco para poder afrontar la compra, con lo que el dinero que entregamos finalmente no es el precio pagado al vendedor sino los plazos del préstamo pagados al banco.

Para comprobarlo veamos un caso concreto. Supongamos que tenemos dos alternativas: comprar una casa de 150.000 € en el año 2009 o comprarla en el 2014.

Veamos los dos factores que afectan a los que paga el comprador:

1º) ¿Cuánto vale esa misma casa en 2014? Cada casa bajará de precio de distinta forma dependiendo de muchos factores como el tipo de construcción o la situación (costa-interior, ciudad-pueblo, centro-periferia ciudad). para no liarnos tomaremos la bajada media que se ve en la siguiente gráfica.



En esta gráfica se puede ver que la bajada media del metro cuadrado, y por tanto,  de las casas de 2008 y 2012 es

(3000 - 2100): 3000 = 900/3000 = 0,3 = 30%.

Por tanto en 2014 este piso costaría

150.000·(1 - 0,30) = 150.000·0,70 = 105.000€

2º) El precio de la casa está claro , pero como es la hipoteca disponible en cada momento. En 2009 era posible encontrar hipotecas cuya tasa de interés era euribor + 0,55%, a pesar de que los créditos no eran ya tan asequibles como un par de años antes por culpa de la crisis financiera. En el año 2014 se encuentran hipotecas con tasa de interés euribor + 1,99%

En el dinero que devolvemos al banco influye el capital prestado, la tasa de interés y la duración de la hipoteca. Supongamos que escogemos el máximo posible, 30 años. Una fórmula que nos da aproximadamente el porcentaje total de capital cobrado en forma de intereses respecto del capital inicial prestado es:

P = i·t

P Porcentaje del capital inicial prestado 
i tasa de interés anual
t Tiempo medido en años

En este caso, si tomamos la diferencia en las dos tasas de interés

1,99 - 0,55= 1,44

y lo sustituimos en la fórmula anterior obtendremos el porcentaje de dinero adicional que hay que pagar en una hipoteca respecto de la otra. Todo expresado como porcentaje del precio de venta de la vivienda (que es el capital prestado):

Diferencia porcentaje prestamos = 1,44·30 = 43,2% del precio del piso

Diferencia dinero devuelto = 105.000·43,2 = 45.360 €

por tanto, vendiendo en 2014, el vendedor obtiene 45.000 € menos. El comprador paga al banco un préstamo 45.360 € más caro y como la casa le ha costado 45.000 € más barata, ha pagado 360 € más.

Al final de todo este embrollo, ¿quién sale beneficiado? Desde luego ni el comprador ni el vendedor; como en tantas otras situaciones es el banco. Y el banco suele repartir más dinero entre sus accionistas que a los clientes cuyo dinero presta.

Fuentes:

Hoy en día se usa otra referencia distinta al euribor, el IRPH que nos da la media de las tasas de los bancos incluyendo euribor y diferencial. para saber algo sobre él y sus consecuencias.

irph maldito: miles de hipotecados pagan más por no tener el índice euribor

En el 2009 se podían encontrar préstamos con la tasa euribor+0,55%
Ver Portal del Cliente Bancario (Banco de España)

¿Es mejor conducir borracho que sobrio? Probabilidad condicionada

Está claro que conducir borracho aumenta el riesgo de accidente, y en el artículo El 43% de los muertos de tráfico en 2013 dio positivo por alcohol o drogas este hecho individual se convierte en un dato estadístico.

Ahora bien, seguro que muchos han gastado la broma típica: Conducen peor los que no van borrachos porque han tenido ... ¡un 57% de los accidentes!

Lo malo es que, a veces, quién hace esa broma parece que no tiene muy claro porque es una broma y no es verdad. Tiene que ver con un concepto matemático llamado probabilidad condicionada.

La probabilidad condicionada nos adapta el concepto de probabilidad a los casos en los que no solo nos preguntan por la probabilidad de algo, sino que nos dan una información adicional que restringe el número de casos totales sobre los que se aplica esa pregunta.

La letra P representa la probabilidad de que ocurra algo (y aquí también puede representar el porcentaje de casos en los que ocurra algo)

Probabilidad de que ocurra A (sin más condiciones) $$\mathrm{ }$$
N(A) = Número de casos en los que ocurre A
N      = Número de casos totales

Probabilidad de que ocurra A si ha ocurrido B $$P(A/B)=\frac{N(AyB)}{N(B)}$$
N(A y B) = Número de casos en los que ocurran A y B a la vez
N(B)       = Número de casos en los que ocurre B

Por ejemplo, si tenemos un dado perfectamente equilibrado la probabilidad de sacar un "2" es 1/6, pero si nos advierten de que ya han tirado el dado y el número que ha salido es par la respuesta a la pregunta "¿probabilidad de sacar un 2?" cambia, ya no es 1/6, sino 1/3 ya que solo hay 3 números pares entre 1 y 6.

En notación matemática esto quedaría escrito de la siguiente forma:

$$P(\text{2})=\frac{N(\text{2})}{N}=\frac{1}{6}$$

$$P(2/\mathit{PAR})=\frac{N(2 \mathrm{y }\mathit{PAR})}{N(\mathit{PAR})}=\frac{1}{3}$$

Siguiendo esta lógica a continuación veremos que aunque el porcentajes de accidentes con conductores ebrios es parecido al porcentaje de accidente con conductores sobrios, como los conductores borrachos abundan menos, la probabilidad de tener un accidente estando borracho es 5 veces superior a si se está sobrio.

Nuestro objetivo es calcular la probabilidad de tener un accidente si vas borracho P(A/B) y compararlo con la probabilidad de accidente si no vas borracho P(A/No B) a partir de los datos:

• Probabilidad  de estar borracho si has tenido un accidente
  P(Borracho/Accidente) = P(B/A) = 43% = 0,43
• Probabilidad  de no estar borracho si has tenido un accidente
  P(No Borracho/Accidente) = P(No B/A) = 57% = 0,57 
• Porcentaje de conductores Borrachos P(B) = 12% = 0,12
• Extrayendo datos de Nota de prensa: Estadísticas 2013 DGT
N. accidentes 2013 = 928
N. desplazamiento 2013 = 354.219.623
$$P(A)=\frac{928}{354.219.623}=\mathrm{0,00000262}$$=0,00026% 

Porcentaje de accidentes con conductor borracho implicado
$$P(A y B)=P(A)·P( B/A)=\mathrm{0,00000262}·\mathrm{0,43}=\mathrm{0,000001127}\approx \mathrm{0,00011\%}$$

Calculamos lo mismo para el caso de que el conductor no esté borracho. Como se ve, el número es prácticamente igual al caso anterior. $$$$
$$P(A y \mathit{No}\mathrm{ \; B})=P(A)·P(\mathit{No} B/A)=\mathrm{0,00000262}·\mathrm{0,57}=\mathrm{0,000001493}\approx \mathrm{0,00015\%}$$

Con la definición de probabilidad condicionada calculamos la probabilidad de tener un accidente si estás borracho
$$P(A/B)=\frac{P(A y B)}{P(B)}=\frac{\mathrm{0,000001127}}{\mathrm{0,12}}\approx \mathrm{0,0009\%}$$
$$P(A/\mathrm{No\; B})=\frac{P(\mathrm{A }\mathrm{y\; No }B)}{P(\mathrm{No\; B})}=\frac{\mathrm{0,000001493}}{\mathrm{0,88}}\approx \; 0,00017\mathrm{\%}$$

P(A/B) : P(A/No B) = 0,00090/0,00017 = 5,2 

Por cierto,  la relación entre ambas probabilidades, en realidad, no depende del porcentaje de accidentes que aparece idéntico en ambas expresiones.

P.D.: Aunque en ningún momento se haya nombrado, al calcular las probabilidades condicionadas intercambiando A por B, hemos aplicado el teorema de Bayes herramienta muy útil tanto en la caza del spam como en las técnicas de inducción estadística.

¿0,5 es lo mismo que 0,33?

Hoy va ser una entradita fácil, al menos, en lo matemático. En otras cosas quizás no.

Pascual Serrano en su interesante Perlas informativas sección de Eldiario.es señala un curioso error matemático en un artículo de El País:

Dice  El País el 7 de junio que, según una encuesta, "casi la mitad [de los encuestados] el 34%, está en contra" de un referéndum sobre la monarquía. ¿34% es casi la mitad? Pues a mí me parece que eso es un tercio.

Pues tiene razón Pascual Serrano. Un porcentaje no es nada más que una forma rara y cómoda de escribir un tipo de fracción. Su utilidad consiste en que todos los porcentajes tienen el mismo denominador, lo que hace que las comparaciones entre porcentajes sean más sencillas que entre fracciones generales. Solo una salvedad, en los porcentajes se admiten decimales y en el numerador de las fracciones, no.

Con el caso anterior:

50% = 50/100 = 1/2 = 1:2 = 0,5 

34% = 34/100 = 0,34

O sea 50% , 50 de cada 100 es lo mismo que 1 de cada 2. Ahí es ná.

Un tercio sería 1/3 = 1: 3 = 0,333333... cero coma tres periódico.

Evidentemente 1/3 está más cerca de 34% que de 50% mal que le pese al autor del artículo de El País.

Matemáticas de alto nivel (2º ESO)  para los ilustrados editores de los medios.

Darwin y Malthus (2): la burbuja demográfica y la crisis ecológica

El crecimiento de una burbuja es típicamente un crecimiento explosivo, lo que los matemáticos y físicos llaman exponencial 

En la entrada anterior ya hablamos de este comportamiento, en particular de la sucesión geométrica de rapidísimo crecimiento y se relacionó con el crecimiento de la población de una especie sin depredadores y con recursos alimenticios ilimitados.

La fórmula que definía la sucesión geométrica es $s_n=a^n$ mientras que la que define la función exponencial es $\mathrm{f(x)}=a^x$

En ambos casos a es un número fijo, mientras que n y x representan la variable que puede tomar diversos valores representando el paso del tiempo. En el caso de n solo pueden ser los números naturales {0,1,2,...}, mientras que la x puede tomar cualquier valor con todos los decimales que sean necesarios (incluso ilimitados), o sea, los número reales.

Muchos fenómenos naturales y sociales tienen que ver con la función exponencial. Pero hay muchos más, entre otros los que hoy en día se describen con el término burbuja: económicas, bursátiles, inmobiliarias,...

Ya vimos en el post anterior el crecimiento poblacional. Miremos un caso concreto, el crecimiento de la población humana mundial: una burbuja demográfica.

La población mundial se duplica cada 35 años.

Un crecimiento claramente exponencial, especialmente durante los últimos dos siglos. Ya dijimos que para que se produzca este crecimiento explosivo es necesario que los recursos sean muy abundantes ¿qué ocurrió hace dos siglos para que se disparase el crecimiento? Básicamente la revolución industrial y el aprovechamiento de los combustibles fósiles tantos para la producción industrial, como para la agrícola y ganadera. Esta abundancia energética juega el papel de recursos ilimitados.

¿Para que se produzca una burbuja solo es necesario el crecimiento exponencial? Comparemos con otra burbuja famosa: la inmobiliaria. En este caso unos créditos baratos y unas políticas permisivas (recursos abundantes) dieron un crecimiento exponencial de la cantidad de las casas construidas y del precio de estas. Cuando el sistema llegó a su límite, colapsó rápidamente dejando créditos impagados por parte de las constructoras y las familias (deuda privada). Las familias se quedaron con su deuda (desahucios) y el estado asumió la deuda de las constructoras y bancos convirtiéndola en deuda pública, así las familias pagaban la deuda dos veces: la propia y la asumida por el estado.

Resumiendo, para que haya una burbuja es necesario que haya recursos que parezcan ilimitados que nos dan el crecimiento exponencial como síntoma. Cuando de alguna manera se ve que los recursos no son ilimitados, el sistema colapsa  bruscamente y no s manda a una situación mucho peor que si el crecimiento hubiese sido más lento y controlado. Si los recursos no son ilimitados cualquier crecimiento exponencial es una burbuja que explotará más pronto que tarde.

En el equivalente demográfico la explotación de los combustibles fósiles desde el comienzo de la revolución industrial ha dado los recursos ilimitados en los que se desarrolla la burbuja demográfica, pero estos recursos como las hipotecas subprime y otras trampas financieras tienen una duración limitada que conlleva el estallido brusco de la burbuja y sus consecuencias.

En el caso de la burbuja ecológica dejaremos a la próxima generación el pago de esa deuda en forma de cambio climático.

Darwin, Malthus y las matemáticas

El 12 de febrero se ha celebrado el día de Darwin, uno de los creadores de la teoría de la evolución basada en la selección natural (el otro fue Wallace). Sobre la figura de Darwin y la teoría de la evolución se pueden decir muchas cosas:

• Su polémica con los fanáticos religiosos, poco imaginativos respecto a sus propios dioses, que le atacaron sin descanso. Curiosamente, Darwin comenzó siendo un anglicano como tantos otros para terminar pensando que "el cristianismo era una doctrina detestable".
• El error de ver la evolución como algo dirigido hacia un objetivo. Evolución solo implica cambio y no intenta lograr ningún fin, salvo la supervivencia a corto plazo. De hecho, a veces se recuperan genes inactivos de la base de genes que es el ADN para aprovechar alguna antigua característica en una nueva función.

Pero ahora y aquí nos vamos a centrar en la influencia que tuvieron las matemáticas en la creación de esta teoría.

Durante bastante tiempo Darwin no se atrevió a publicar su teoría de la evolución porqué aunque tenía pruebas de la evolución de los seres vivos recogidos en su viaje en el Beagle y otras fuentes, no entendía el mecanismo que obligaba a los seres vivos a cambiar de la forma en que lo hacían. Había conseguido demostrarse a sí mismo que en el caso de los animales domesticados por los humanos la selección era una fuerza poderosa, pero ¿cuál podía ser su equivalente en la naturaleza?

Tras un periodo de trabajo intenso decidió relajarse leyendo el libro de Malthus Sobre la población.  Ya veis, algo ligerito. Exactamente en la página 104 de su Autobiografía Darwin escribe:

"En octubre de 1838, es decir, 15 meses después de haber iniciado mi indagación sistemática, leí por casualidad y para entretenerme el libro de Malthus Sobre la población, y como debido a mi larga y continua observación de los hábitos de los animales y las plantas, me hallaba bien preparado para darme cuenta de la lucha universal por la existencia, me llamó la atención enseguida que, en esas circunstancias, las variaciones favorables tenderían a preservarse, y las desfavorables a ser destruidas."

¿Y dónde entran aquí las matemáticas?

En sus estudios Malthus vio que la manera en la que pueden crecer la población humana y sus recursos agrícolas son muy, muy distintas. Simplificando se puede decir que cualquier población crece geométricamente siempre que haya recursos suficientes mientras que los propios recursos agrícolas de lo que dependen los humanos crecen en el mejor de los casos aritméticamente. Estas dos denominaciones se refieren a dos tipos de sucesiones distintas que responden a dos tipos de fórmulas muy distintas: las sucesiones son fórmulas en las que la variable es un número natural (0, 1, 2, ...) que en el caso de los estudios de Malthus se pueden identificar con los sucesivos años del estudio. Pues bien, en el caso de una sucesión aritmética la fórmula es s_n = a·n + b

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$S_n=2n+1$	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19

 $$
$\mathrm{ }$n es la variable que irá tomando valores {0, 1, 2, 3, ...} según pase el tiempo, mientras que a y b son números fijos cualesquiera.

Tanto en la gráfica como en la tabla se ve que cada año la producción alimentaria se incrementa en una misma cantidad.

Mientras que en el caso de una sucesión geométrica es s_n = aⁿ
 

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$s_n=2^n$	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512

Aquí se ve que el crecimiento de la población es mucho más rápido ya que cada cierta cantidad de años se duplica. Lo que nos lleva siempre al mismo final, independientemente de cuán abundantes fuesen los recursos inicialmente, más tarde o más temprano escasearán y se producirá una hambruna que diezmará la población.

Fuente: Autobiografía. Charles Darwin. Editorial Laetoli

Cosas variadas sobre derivadas

Una entrada rápida para mis alumnos de 2º de bachillerato. Como os prometí aquí están las soluciones de las derivadas propuestas esta mañana.

Esperemos que vuestros intentos se parezcan a estas soluciones. Tened en cuenta que puede haber alguna pequeña variación en el proceso de cálculo algebraico tras el cálculo, propiamente dicho, de la derivada.

Son tres imágenes:

• Página 1
• Página 2
• Página 3

También se puede encontrar esto mismo el otro blog con la etiqueta 2Bach

Para cualquier duda o consulta, los comentarios de esta entrada o flobo@educa.madrid.org

El señor Rajoy y la falta de desigualdad

Bueno, para ser exactos estaríamos hablando de la falta de información sobre la desigualdad. Hace unos días el señor Rajoy, presidente del gobierno de España, concedía una entrevista al periódico El PAÍS, y en ella,  a las preguntas sobre el aumento de la desigualdad (económica y social, e incluso educativa)  en España en los últimos años respondía argumentando que no hay herramientas suficientes para analizar el crecimiento de la desigualdad. No sé si se refería que el gobierno no dispone de información, a lo que tendría que contestar el INE (Instituto de Estadística de España) o a que  no existen esas herramientas matemáticas. Respecto a lo último puedo dar unas pinceladas que ayudarán a personas legas en matemáticas y estadística; con respecto al sr. presidente no sé si estará versado en estas materias pues no conozco el temario de la oposición a registrador de la propiedad, aunque hoy en día si aparece en 4º de la ESO y en las matemáticas de bachillerato.

Desde el punto de vista de la estadística pura como rama de la matemáticas, todo conjunto de datos se puede caracterizar midiendo una serie de parámetros o magnitudes. Algunos de estos parámetros miden grosso modo dónde están los datos. Estos parámetros son llamados de centralización  como la media, la mediana o la moda. Pero también hay otros parámetros que nos dicen como se distribuyen estos datos, es decir si están muy repartidos o muy concentrados. A los parámetros que miden la distribución de la magnitud que se este estudiando se les llama parámetros de dispersión entre ellos está por ejemplo, la desviación típica, la varianza, el rango, la covarianza, el coeficiente de correlación de Pearson, la desviación media respecto de la media o de la mediana, el coeficiente de variación  o el coeficiente de Gini. No son pocos y todos ellos miden alguna faceta de la desigualdad. En general, cuanto mayor es la magnitud mayor es la variablidad o dispersión de los datos.

Para medir la desigualdad en algunas ocasiones podemos "inventar" fórmulas basadas en estos parámetros o en los de centralización, no tan extendidas y habituales como las anteriores pero que se adapten bien a nuestras circunstancias. Por ejemplo, se puede medir la desigualdad en el enriquecimiento de la población comparando el percentil 10 con el percentil 90 mediante una división. Recordemos que, en este caso,  el percentil 10 nos dice cuánto gana la persona que está sobre el 10% de la población y el percentil 90 lo que gana quién está por encima del 90% de la población.

Imaginemos que la magnitud estudiada fuese el dinero estos parámetros que dicen si la renta está muy repartida o poco, medirían también la desigualdad económica. Evidentemente un solo parámetros quizás no nos de una visión completa, pero como cada uno arroja luz sobre una faceta del problema se puede seleccionar varios para tener una visión ponderada dependiendo de en que factores nos queremos fijar. Por otro lado algunos de estos parámetros serán más fáciles de calcular o menos dependiendo de los datos económicos o sociales que usemos.

Otros artículos relacionados o con la entrevista al sr. Rajoy o con el tratamiento de la desigualdad en la estadística:

I. Escolar: Datos sobre la desigualdad que Rajoy no quiere ver
Qué poco se habla de cómo se reparte el dinero
La estadística, esa arma "letal"
El sesgo, ¿es el nombre de un ogro?