Improbabilidades cotidianas

Hace unos días se ha publicado un artículo que encaja en lo tratado en este blog: Las probabilidades matemáticas de que lo de la infanta sea “un error” de Ignacio Escolar. En ese artículo se conjuga actualidad y unos cuántos resultados matemáticos sobre probabilidad. Trata sobre los curiosos errores cometidos alrededor de unas propiedades atribuidas a una infanta de la Casa Real española. Lo que nosotros vamos a abordar aquí son los razonamientos y cálculos que llevan a los resultados aportados en ese artículo.

Primero establezcamos una hipótesis sobre lo ocurrido para poder construir los cálculos. Se supone que se han cometido 4 errores independientes por parte de distintas personas al transcribir un número de un documento oficial (el famoso NIF) a una página web que un notario o un registrador de la propiedad deben cumplimentar con los datos de la venta de la propiedad. La cantidad de números disponibles para este NIF son 46 millones. Por tanto la probabilidad de equivocarse una vez sería de 1 entre 46 millones. Si se repite el error siempre con el mismo número equivocado la probabilidad sería de 1 entre 46 millones elevado a 4, es decir, una inmensa cantidad de posibilidades al repetir un número 4 veces:

${(\mathrm{46.000.000})}^4={(46·{10}^6)}^4={46}^4·{10}^{6·4}=4477456·{10}^{24}=\mathrm{4.477.456.000.000.000.000.000.000.000.000}$

Y la probabilidad sería exactamente 1 entre este número, es decir, un número muy, muy, muy pequeño que representa una probabilidad muy baja:

$P=\frac{1}{{(\mathrm{46.000.000})}^4}\approx 2·{10}^{-31}$$$

Es decir, 0 coma 30 ceros más y después un 2. Hemos usado lo que se llama notación científica, una forma de escribir los número muy útil cuando se opera y escriben números muy grandes o muy pequeños.

Otro caso de improbabilidad cada vez más habitual en España está en el concurso que la Comunidad de Madrid llevó a cabo para privatizar la sanidad en su territorio (ver Seis ofertas para seis hospitales). En este concurso se ofertaba la gestión de 6 hospitales de la región a empresas sanitarias privadas o fondos de inversión (seguramente un buen negocio). Se han presentado 3 empresas que han optado a la gestión e distintos hospitales de la siguiente forma: tres para HIMA San Pablo, dos para Ribera Salud y uno para Sanitas. Curiosamente sin que haya habido competencia real entre ellas. ¿Cómo de probable es que sin haberse puesto de acuerdo no haya habido colisión entre sus intereses? Para responder a esta pregunta tendremos que calcular la probabilidad según la fórmula de Laplace, dividiendo la cantidad de maneras en las que se pueden repartir lols 6 hospitales (sin haber copincidencia) entre TODAS las formas en las que se pueden repartir los hospitales con coincidencia o sin ella. Aquí entra en juego una parte de la matemática llamada combinatoria.

Tengo disponible 6 hospitales ¿de cuántas formas puedo elegir dos? Tengo 6 hospitales disponibles, pero una vez elegido uno solo me quedan 5 para volver a elegir, en total, 6·5 = 30, entonces hay 30 formas de elegir 2 hospitales de 6. Pero como el orden no importa, o sea, da lo mismo elegir primero A y después B o a la inversa, tenemos que dividir entre 2. A esto se le llama combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2

$C_{\mathrm{6,2}}=\frac{6·5}{2}=15$

$\mathrm{ }$
Si llevamos a cabo este proceso 3 veces para elegir 3, 2 y 1 hospital me queda

$C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{6,2}}·C_{\mathrm{6,1}}=\mathrm{20·15·6}$

maneras de elegir 3 parejas sin tener en cuenta ninguna condición.

Ahora veamos cuántas formas hay de elegir sin que haya coincidencia. Primero elegimos un trio entre los 6 elementos de $C_{\mathrm{6,3}}$ maneras distitas. Ahora nos quedan 4 elementos de entre los que sacar una pareja, entonces habrá $C_{\mathrm{4,2}}$ formas de hacerlo. Y finalmente solo nos quedarán un elemento, elección que se podrá hacer de $C_{\mathrm{1,1}}$ formas distintas, en realidad solo una. La cantidad total de opciones se obtiene multiplicando los tres números:

 $C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{4,2}}·C_{\mathrm{1,1}}=20·6·1$

En este caso la probabilidad de este reparto se calcula dividiendo la cantidad de formas de repartir los 6 hospitales como buenos hermanos  $entre\; todas\; las\; formas\; posibles:$
$$ $$

$$ P=\frac{C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{4,2}}·C_{\mathrm{1,1}}}{C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{6,2}}·C_{\mathrm{6,1}}}=\frac{20·6·1}{20·15·6}=\frac{1}{15}\approx \mathrm{0,066}=\mathrm{6,6\%}$$

Estos números no son tan impresionantes como los de los cálculos anteriores, pero aún así este reparto entre buenos hermanos dejado al azar ocurriría una vez de cada 15.

Gracias a Mauricio Fernández Martínez que fue quién me planteo la pregunta básica:
¿Es muy probable que casualmente se repartan tan bien los hospitales entre las empresas?