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miércoles, 4 de noviembre de 2015

Coincidencia sorprendente de cumpleaños

Hola de nuevo. Siento el gigantesco lapsus que se ha producido desde la última publicación, pero la vida es muy complicada y esta llena de coincidencias sorprendentes.

¿O no tan sorprendentes? Un ejemplo es un problema básico de probabilidad (la parte de las matemáticas que mejor explica o desmitifica las coincidencias):  
el problema del cumpleaños.

Su enunciado podría ser este: ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos personas en una reunión de 23 personas coincidan en la fecha de su cumpleaños?

¿Cuántas veces creéis que puede ocurrir? ¿ 5 veces de cada 100 (P = 5% = 0,05) que juntéis un grupo de 20 personas? ¿10 veces de cada 100 (P = 10% = 0,1)? ¿O incluso, 30 de cada 100 (P = 30% = 0,3)?


En lugar de complicarnos la vida con conjeturas arriesgadas, calculemos

Que haya al menos dos personas con cumpleaños coincidentes quiere decir que me vale con que haya dos, pero también vale si hay tres o cuatro o veintitrés. Y habría que calcular la probabilidad de que suceda cada una de estas cosas por separado y después sumarlo todo. Parece un poco complicado.

Por suerte, hay otro camino que pasa por calcular justo lo contrario, es decir, la probabilidad de que nadie tenga el cumpleaños el mismo día.Y esto es muy fácil de calcular.

Si tuviéramos dos personas la primera tendría para elegir 365 días de los 365 días del año, pero la segunda solo tendría 364 días de los 365 días del año si no queremos que coincidan los cumpleaños el mismo día. Por tanto, para dos personas la probabilidad de que una persona tenga su cumpleaños un día cualquiera Y la otra persona tenga su cumpleaños un día cualquiera distinto al de la primera persona es:

  P = 365 365 · 364 365 = 0,997260274 P = 365 over 365 · 364 over 365

Siguiendo la misma lógica es fácil calcular la probabilidad de que en un grupo de 23 personas no haya ninguna coincidencia:
 

P = 365 365 · 364 365 · 363 365 · · · 365 22 365 = 0,4927027657 0,49

 P = 365 over 365· 364 over 365· 363 over 365 ··· {365-22} over 365 = 0,4927027657 approx 0,49

Y esto es justo lo opuesto que queríamos calcular, así que la suma de los dos sucesos tiene que ser 1 que es la probabilidad del suceso seguro, es decir, seguro que ocurre una de las dos cosas ya que una es lo contrario de la otr. Por eso, la probabilidad de que,a l menos, dos personas tengan su cumpleaños el mismo día es:

P = 1 0,49 = 0,51 = 51 %

¡51%! Esto quiere decir de de cada 100 reuniones de este tipo habría 51 con alguna coincidencia. Un número bastante grande. De hecho es igual de probable que ocurra esta coincidencia a que tiré una moneda y salga cara.

En una próxima entrega: lo que me dijo una alumna después de explicar este problema en una clase de probabilidad de 4º de la ESO.

Eso sí que me sorprendió. Próximamente en sus monitores.
  P = 1 - 0,49 = 0,51 = 51 "%"

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