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domingo, 23 de febrero de 2014

Darwin, Malthus y las matemáticas

El 12 de febrero se ha celebrado el día de Darwin, uno de los creadores de la teoría de la evolución basada en la selección natural (el otro fue Wallace). Sobre la figura de Darwin y la teoría de la evolución se pueden decir muchas cosas:
  • Su polémica con los fanáticos religiosos, poco imaginativos respecto a sus propios dioses, que le atacaron sin descanso. Curiosamente, Darwin comenzó siendo un anglicano como tantos otros para terminar pensando que "el cristianismo era una doctrina detestable".
  • El error de ver la evolución como algo dirigido hacia un objetivo. Evolución solo implica cambio y no intenta lograr ningún fin, salvo la supervivencia a corto plazo. De hecho, a veces se recuperan genes inactivos de la base de genes que es el ADN para aprovechar alguna antigua característica en una nueva función.
Pero ahora y aquí nos vamos a centrar en la influencia que tuvieron las matemáticas en la creación de esta teoría.

Durante bastante tiempo Darwin no se atrevió a publicar su teoría de la evolución porqué aunque tenía pruebas de la evolución de los seres vivos recogidos en su viaje en el Beagle y otras fuentes, no entendía el mecanismo que obligaba a los seres vivos a cambiar de la forma en que lo hacían. Había conseguido demostrarse a sí mismo que en el caso de los animales domesticados por los humanos la selección era una fuerza poderosa, pero ¿cuál podía ser su equivalente en la naturaleza?

Tras un periodo de trabajo intenso decidió relajarse leyendo el libro de Malthus Sobre la población.  Ya veis, algo ligerito. Exactamente en la página 104 de su Autobiografía Darwin escribe:

"En octubre de 1838, es decir, 15 meses después de haber iniciado mi indagación sistemática, leí por casualidad y para entretenerme el libro de Malthus Sobre la población, y como debido a mi larga y continua observación de los hábitos de los animales y las plantas, me hallaba bien preparado para darme cuenta de la lucha universal por la existencia, me llamó la atención enseguida que, en esas circunstancias, las variaciones favorables tenderían a preservarse, y las desfavorables a ser destruidas."

¿Y dónde entran aquí las matemáticas?

En sus estudios Malthus vio que la manera en la que pueden crecer la población humana y sus recursos agrícolas son muy, muy distintas. Simplificando se puede decir que cualquier población crece geométricamente siempre que haya recursos suficientes mientras que los propios recursos agrícolas de lo que dependen los humanos crecen en el mejor de los casos aritméticamente. Estas dos denominaciones se refieren a dos tipos de sucesiones distintas que responden a dos tipos de fórmulas muy distintas: las sucesiones son fórmulas en las que la variable es un número natural (0, 1, 2, ...) que en el caso de los estudios de Malthus se pueden identificar con los sucesivos años del estudio. Pues bien, en el caso de una sucesión aritmética la fórmula es   s n = a n + b


n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S n = 2 n + 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
 
 
   S_n = a n + b
n es la variable que irá tomando valores {0, 1, 2, 3, ...} según pase el tiempo, mientras que a y b son números fijos cualesquiera.

Tanto en la gráfica como en la tabla se ve que cada año la producción alimentaria se incrementa en una misma cantidad.



Mientras que en el caso de una sucesión geométrica es s n = a n s_n = a^n


n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
s n = 2 n s_n = a^n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512




Aquí se ve que el crecimiento de la población es mucho más rápido ya que cada cierta cantidad de años se duplica. Lo que nos lleva siempre al mismo final, independientemente de cuán abundantes fuesen los recursos inicialmente, más tarde o más temprano escasearán y se producirá una hambruna que diezmará la población.

Fuente: Autobiografía. Charles Darwin. Editorial Laetoli

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