Epidemia de Fibonacci

Una sucesión es una lista de números. Tiene un primer elemento pero no tiene último número ya que continua indefinidamente. La sucesión de Fibonacci es  esta lista

 1,1,2,3,5,8.13.21,34,55,....

Hay varias formas de construir una sucesión. En este caso usamos dos términos anteriores sumados para calcular el término siguiente.

O sea una fórmula de recurrencia: a_n = a_n-1 + a_n-2

Dónde a₀ = 1 y a₁ = 1 son las semillas o condiciones iniciales

Si dibujamos esta serie en una gráfica vemos un crecimiento explosivo, o en palabras matemáticas exponencial




Cuando Fibonacci inventó su sucesión, la historia que había detrás justificando esta fórmula hablaba de un par de conejos y sus crías. Una auténtica plaga, no es ninguna tontería, preguntádselo a los australianos.

Pero ahora lo podemos actualizar a una historia vírica. La sucesión puede contar el número de contagiados así que empezamos con un contagiado el día 1, tras el periodo de incubación y con la suficiente carga viral el día 3 contagia a otra persona (ya son dos), luego el paciente 1 contagia a otra persona mientras el dos todavía está incubando (ya son 3) y así sucesivamente.

Y este comportamiento de reacción en cadena es el que nos da el comportamiento y el gráfico exponencial

¿Y donde está la típica fórmula exponencial a^x?
Vamos a suponer que la fórmula es  dónde no conocemos k y sustituimos en la fórmula  

a_n = a_n-1 + a_n-2

Y nos da la ecuación característica kⁿ = k^n-1 + k^n-2

kⁿ ➖ k^n-1 ➖ k^n-2 = 0

k^n-2( k² ➖ k ➖ 1) = 0

Las soluciones de esta ecuación  de 2º grado son: k ≅ 1,618  k ≅➖ 0,618

Al final, la fórmula que nos da la lista de números de arriba es una suma de estas dos opciones, y así nos aparece la exponencial

a_n = 0,724·1,618ⁿ + 0,276·(➖ 0,618)ⁿ

IMPORTANTE: quién se lea y entienda esto que no crea ahora que es un experto en epidemiología o virología. Este es lo que se llama un modelo de juguete (toy model)   que aunque ilustra algún aspecto particular (como la propagación exponencial) es demasiado sencillo para reflejar varias facetas de la realidad. Por ejemplo, en este caso los pacientes no dejan nunca de ser contagiosos

Ahora sabemos que en las epidemias víricas existe un número que mide la cantidad media que se contagia a partir de un contagiado en cada generación, llamado número de reproducción R que nos dice cuántas personas (de media) puede contagiar un individuo tras el periodo de incubación. Como este es un modelo MUY sencillo tenemos un primer error en que un contagiado no deja de ser contagioso nunca.

Lo que si podemos introducir en un número que cuantifique a cuanta gente se contagia en cada nueva generación. Y eso es lo que veremos en la próxima entrada.

Otros comportamientos exponenciales como en las burbujas y las crisis se ven en:

•  Darwin y Malthus (2): la burbuja demográfica y la crisis ecológica
    

Regulación de precios (de mascarillas)

Los precios de las mascarillas que ya son un bien de primera necesidad en estos tiempos del coronavirus, están alcanzando unos precios desproporcionados y claramente entrando en la burbuja especulativa. Por eso ya hay voces que abogan por una regulación del mercado y un control de los precios, y el origen de algunas de estas voces sorprende porque en otros tiempos defendían medidas más típicas del neoliberalismo.

Lo malo es que quienes estamos a favor de un mercado regulado y más controlado sabemos que hay do peligros que acechan siempre: el mercado negro y el desabastecimiento.

El mercado negro es un problema que muchas veces es casi imposible de evitar, a menos que tengamos un mercado totalmente desregulado (algunos llaman libre a esto, pero no es cierto) y sin impuestos, pero en ese caso el mercado es 100% negro.

La primera decisión tiene que ser intentar controlar  los canales de producción y distribución, e imponer medidas coercitivas. Esto puede ser más fácil o difícil dependiendo del sector. En este caso seguramente no seería tan dificil como en otros porque uno de los canales principales son las farmacias que es más fiable que otros. Pero aún así, seguramente habría que asumir un pequeño porcentajede mercado negro por un criterio de eficiencia. Ocurre como en los grandes almacenes en los que se intenta evitar el robo, si quieres reducir los robos a 0 saldría más caro el sistema de vigilancia que asumir un pequeño porcentaje de perdidas por robos.  El tamaño de ese porcentaje dependería de en que momento se igualaría coste con perdidas.

Por otro lado, suponiendo que hubiesemos alcanzado ese mínimo de mercado negro, aún tendríamos el problema del desabastecimiento. En un mercado internacional que ya vemos como funciona, los proveedores que quisieran comprar fuera y luego vender en España tendrían el problema de comprar a precios especulativos para vender a precios controlados, así que seguramente no comprarían. Salvo el Estado que podría asumir las perdidas pero para ciertos casos y con ciertos límites.

Por lo tanto, para evitar el desabatecimiento no queda más remedio que tenr una producción propia suficientemente grande, y asegurando los canales de distribución paa que no haya desviaciones importantes. Y siempre la administración podría distribuir mascarillas (como ya se ha hecho en los medios públicos de transporte) no solo por cuestiones de salud pública, sino para tener otra medida con la que mantener los precios controlados gracias a la disminución de la demanda.

Pero seguro que habrá alguién que sepa de esto y que ya lo haya tenido todo en cuenta, porque el problema es complicado. 

Respuesta a la pregunta "¿una muestra de 60.000 test es fiable?"

En la rueda de prensa que ofreció el ministro de Sanidad S. Illa el martes 7 de abril un periodista preguntó si un muestreo de 60.000 test permitiría realmente estimar cuánta población puede estar afectada por el CoVid19. La respuesta es que sí es una muestra con fiabilidad estadística según dijo el ministro a partir de lo que le comentaron los técnicos.

¿Qué significa eso? Como sabe el alumnado de 2º Bachillerato de matemáticas de CCSS en estadística es posible calcular el margen de error en las predicciones sobre la población general realizadas a partir de una muestra más pequeña con una cierta probabilidad. La fórmula es:



Donde z, llamado valor crítico, es un número que depende de la probabilidad de acierto que queramos, por ejemplo, para un 99%   z = 2,575. En estos casos se suele hablar de una confianza del 99%. n es el tamaño de la muestra (n = 60.000) y p es el porcentaje de población que dará positivo en la muestra, como todavía no lo conocemos se escoge para p = 0,5 que nos da el error mayor.



Esto quiere decir que la diferencia entre el porcentaje de positivos obtenidos en el muestreo con el porcentaje de la población general será inferior a 0,5 en el 99% de las ocasiones. Seguramente en los cálculos reales se hallan usado un valor de z para una confianza mayor que 99%.

En todo caso esto es otra muestra de la ignorancia que existe entre el público en general sobre la manera de calcular los márgenes de error en las encuestas, no solo en esta, sino en otras muchas que aparecen en los periódicos sobre elecciones o popularidad, y en las que por desgracia solo se habla del porcentaje obenido sin entrar enla importante cuestión del error admitido. Por cierto en las encuestas que se hacen en los periódicos, el tamaño de la muestra no pasa de 2000 casos y el error admitido es mucho mayor.

IMPORTANTE: el muestreo debe ser aleatorio y sin sesgo. NO se pueden escoger para un muestreo los test de la misma forma que si queremos hacer diagnósticos.

El triunfo contra la viruela

No es la primera vez que se lleva a cabo una lucha de estas características: Los virus existen probablemente desde que existen las bacterias, ya que los virus son parásitos de muchos tipos de células incluyendo las bacterías, es decir, miles de millones de años. Pero las epidemías son más recientes. seguramente entraron en nuestra historia a la vez que la ganadería y los primeros núcleos urbanos (10.000 años)

La lucha contra los virus ha abarcado gran parte de la historia pero hay un caso en el que por fin hemos triunfado definitivamente y me parece un buen ejemplo del esfuerzo humano y los logros científicos. En esta entrada del blog La pizarra de Yuri (año 2010) se puede leer una narración bien documentada y emocionante de esta lucha sempiterna.

Viruela: cuando la mano del Hombre fue más poderosa que el puño de Dios.

Otra cosa interesante que se puede encontrar por internet relacionado con los virus (y con el CoVid19) es el proyecto nextstrain. Tal y como se dice en su propia página web:
Nextstrain es un proyecto de código abierto (open source) para aprovechar el potencial científico y de salud pública de los datos del genoma del patógeno. Proporcionamos una visión actualizada de los datos disponibles públicamente junto con potentes herramientas analíticas y de visualización para uso de la comunidad. Nuestro objetivo es ayudar a la comprensión epidemiológica y mejorar la respuesta al brote. Si tiene alguna pregunta, o simplemente quiere saludar, por favor escribanos a hello@nextstrain.org