¿Punto de inflexión en economía o punto de inflexión en matemáticas?

En España los responsables de la economía (de alguna forma hay que llamarlos) hablan mucho últimamente de que se acerca un punto de inflexión, un cambio de tendencia (ver Montoro ve un punto de inflexión y piensa que "la economía está tocando fondo" o Montoro prevé un punto de inflexión de la economía en el segundo trimestre). Parece que pretenden insinuar que el estado de la economía española va a pasar de bajar a subir, de PIB decreciente a PIB creciente. Esto es lo que en teoría de funciones, o sea las típicas gráficas que se ven en 1º de bachillerato, se llama un mínimo relativo. También existe el máximo relativo, y en general, los estremos relativos. En el dibujo de la función o gráfica corresponde al fondo del valle entre dos montañas. Si estamos en el mínimo, nos movamos dónde nos movamos siempre subimos. O si avanzamos de izquierda a derecha, que es como se leen las gráficas en matemáticas, primero bajamos, pasamos por el mínimo y luego subimos. Hasta aquí, todo bien. Ojala suceda esto.

El problema es que si uno hace caso a los libros de matemáticas o a wikipedia y miramos la definición de punto de inflexión nos encontramos con que lo que pretenden insinuar estas personas no es lo que dice este concepto. Un punto de inflexión ocurre, por ejemplo, cuando una gráfica desciende (siempre avanzando de izquierda a derecha) se frena durante unos instantes, y vuelve a caer cada vez más deprisa. O viceversa.

Mi duda: ¿se equivocan cuando hablan de punto de inflexión porque no controlan el concepto matemático de 1º de bachillerato o aciertan en el uso de la expresión punto de inflexión y somos los demás los que los malinterpretamos cuando abrigamos esperanzas de una próxima subida del PIB?

Improbabilidades cotidianas

Hace unos días se ha publicado un artículo que encaja en lo tratado en este blog: Las probabilidades matemáticas de que lo de la infanta sea “un error” de Ignacio Escolar. En ese artículo se conjuga actualidad y unos cuántos resultados matemáticos sobre probabilidad. Trata sobre los curiosos errores cometidos alrededor de unas propiedades atribuidas a una infanta de la Casa Real española. Lo que nosotros vamos a abordar aquí son los razonamientos y cálculos que llevan a los resultados aportados en ese artículo.

Primero establezcamos una hipótesis sobre lo ocurrido para poder construir los cálculos. Se supone que se han cometido 4 errores independientes por parte de distintas personas al transcribir un número de un documento oficial (el famoso NIF) a una página web que un notario o un registrador de la propiedad deben cumplimentar con los datos de la venta de la propiedad. La cantidad de números disponibles para este NIF son 46 millones. Por tanto la probabilidad de equivocarse una vez sería de 1 entre 46 millones. Si se repite el error siempre con el mismo número equivocado la probabilidad sería de 1 entre 46 millones elevado a 4, es decir, una inmensa cantidad de posibilidades al repetir un número 4 veces:

${(\mathrm{46.000.000})}^4={(46·{10}^6)}^4={46}^4·{10}^{6·4}=4477456·{10}^{24}=\mathrm{4.477.456.000.000.000.000.000.000.000.000}$

Y la probabilidad sería exactamente 1 entre este número, es decir, un número muy, muy, muy pequeño que representa una probabilidad muy baja:

$P=\frac{1}{{(\mathrm{46.000.000})}^4}\approx 2·{10}^{-31}$$$

Es decir, 0 coma 30 ceros más y después un 2. Hemos usado lo que se llama notación científica, una forma de escribir los número muy útil cuando se opera y escriben números muy grandes o muy pequeños.

Otro caso de improbabilidad cada vez más habitual en España está en el concurso que la Comunidad de Madrid llevó a cabo para privatizar la sanidad en su territorio (ver Seis ofertas para seis hospitales). En este concurso se ofertaba la gestión de 6 hospitales de la región a empresas sanitarias privadas o fondos de inversión (seguramente un buen negocio). Se han presentado 3 empresas que han optado a la gestión e distintos hospitales de la siguiente forma: tres para HIMA San Pablo, dos para Ribera Salud y uno para Sanitas. Curiosamente sin que haya habido competencia real entre ellas. ¿Cómo de probable es que sin haberse puesto de acuerdo no haya habido colisión entre sus intereses? Para responder a esta pregunta tendremos que calcular la probabilidad según la fórmula de Laplace, dividiendo la cantidad de maneras en las que se pueden repartir lols 6 hospitales (sin haber copincidencia) entre TODAS las formas en las que se pueden repartir los hospitales con coincidencia o sin ella. Aquí entra en juego una parte de la matemática llamada combinatoria.

Tengo disponible 6 hospitales ¿de cuántas formas puedo elegir dos? Tengo 6 hospitales disponibles, pero una vez elegido uno solo me quedan 5 para volver a elegir, en total, 6·5 = 30, entonces hay 30 formas de elegir 2 hospitales de 6. Pero como el orden no importa, o sea, da lo mismo elegir primero A y después B o a la inversa, tenemos que dividir entre 2. A esto se le llama combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2

$C_{\mathrm{6,2}}=\frac{6·5}{2}=15$

$\mathrm{ }$
Si llevamos a cabo este proceso 3 veces para elegir 3, 2 y 1 hospital me queda

$C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{6,2}}·C_{\mathrm{6,1}}=\mathrm{20·15·6}$

maneras de elegir 3 parejas sin tener en cuenta ninguna condición.

Ahora veamos cuántas formas hay de elegir sin que haya coincidencia. Primero elegimos un trio entre los 6 elementos de $C_{\mathrm{6,3}}$ maneras distitas. Ahora nos quedan 4 elementos de entre los que sacar una pareja, entonces habrá $C_{\mathrm{4,2}}$ formas de hacerlo. Y finalmente solo nos quedarán un elemento, elección que se podrá hacer de $C_{\mathrm{1,1}}$ formas distintas, en realidad solo una. La cantidad total de opciones se obtiene multiplicando los tres números:

 $C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{4,2}}·C_{\mathrm{1,1}}=20·6·1$

En este caso la probabilidad de este reparto se calcula dividiendo la cantidad de formas de repartir los 6 hospitales como buenos hermanos  $entre\; todas\; las\; formas\; posibles:$
$$ $$

$$ P=\frac{C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{4,2}}·C_{\mathrm{1,1}}}{C_{\mathrm{6,3}}·C_{\mathrm{6,2}}·C_{\mathrm{6,1}}}=\frac{20·6·1}{20·15·6}=\frac{1}{15}\approx \mathrm{0,066}=\mathrm{6,6\%}$$

Estos números no son tan impresionantes como los de los cálculos anteriores, pero aún así este reparto entre buenos hermanos dejado al azar ocurriría una vez de cada 15.

Gracias a Mauricio Fernández Martínez que fue quién me planteo la pregunta básica:
¿Es muy probable que casualmente se repartan tan bien los hospitales entre las empresas?

Los porcentajes que nos encadenan

Hoy una entrada sobre algo relativamente sencillo (de 2º de la E.S.O.) pero que su desconocimiento nos puede encadenar a la confusión. Tomemos como ejemplo una noticia de Madrid del 18 de julio de 2013: Las tasas universitarias suben otro 20%, tras el 38% de 2012.

Si ahora preguntásemos por la calle, cuánto ha sido el incremento en estos dos años, habría personas que dirían: "Vamos a ver, 20% de un año y 38% del otro, sumamos y nos da ¡58%!". No es pequeña la subida, pero realmente la cosa es peor; la subida es de 65,6% ¿Por qué? Intentaré explicar la cuenta, que no las razones de la subida que son inexplicables.

Si algo cuesta en 2011 100 € tras la subida de 2012 costaría 138 €, es decir, multiplicamos por 1.38 el precio del año anterior.

$P_{2012}=P_{2011}·\left(1+\frac{38}{100}\right)=P_{2011}·1.38$

$\mathrm{ }$
Pero si ahora aplicamos la subida de 2013 (20%)  no sería sobre 100 €, sino sobre 138 €, por tanto, el precio final tiene que ser mayor. Aplicamos de nuevo la misma fórmula aplicada antes multiplicando 138 por 1.20 y nos da 165,6 €. Por tanto, hemos tenido una subida de 65,5 € sobre los 100€ iniciales de 2011. En fórmulas

$P_{2013}=P_{2012}·\left(1+\frac{20}{100}\right)=P_{2011}·\left(1+\frac{38}{100}\right)\left(1+\frac{20}{100}\right)=P_{2011}·1.38·1.20=P_{2011}·1.656$$\mathrm{}$$\mathrm{ }$

Por esta misma razón, cuando se hace una subida del 20% y posteriormente una rebaja del 20% no se recupera el precio original. Debido al aspecto de la fórmula usada y el procedimiento empleado a estos porcentajes se les llama encadenados, dónde cada subida o bajada porcentual sería un eslabón de la cadena. Cadena, algunas veces nada metafórica.

Exámenes resueltos de 3º ESO

Pues para mis alumnas y alumnos que suspendieron en junio y que espero que se estén preparando para el examen de septiembre, aquí dejó algunos exámenes resueltos de los que hemos hecho durante el pasado curso:

Ecuaciones 2º grado
Ecuaciones 2º grado y radicales
Geometria 3D
Global 1
Global 2
Global 3
Notación científica y ecuaciones de primer grado
Sistemas de ecuaciones

Próximamente más. Permanezcan atentos a sus monitores.

Ánimo y suerte.

Santoral

A pesar de que la mayor parte de la tragedia ocurriese hace unos 1600 años, sí es una información de actualidad lo contado hoy. Ayer 27 de junio vi en la agenda que era el día dedicado al santo Cirilo de Alejandría. Este santo tiene a bien en su curriculum estar involucrado en el asesinato de Hipatia y la destrucción de la Biblioteca de Alejandría de la que Hipatia fue su última directora. Esta señora fue también filósofa de la corriente neoplatónica, profesora de matemáticas e investigó sobre las formas cónicas. Quizás fue la diseñadora, junto a su padre, de los primeros astrolabios.

Por todo eso, y lo que no conocemos de las obras clásicas tras la destrucción de la Biblioteca, quiero tener un recuerdo para Hipatia y la Biblioteca.

FINDE científico

En vista de cómo está la situación de la ciencia y la tecnología en España, quizás alguien espere en esta entrada un artículo catastrófico sobre el futuro de la ciencia. Pero no, es más sencillo. Se trata de una serie e actividades de carácter científico-tecnológico que se realizan en el Museo de Ciencia y Tecnología en Madrid durante el próximo fin de semana del 11 y 12 de mayo.

Si alguien pasa por Madrid que lo mir, antes de que toda la Ciencia española se pueda ver solo en el museo.

Finde científico

El sesgo, ¿es el nombre de un ogro?

Una nueva entrada sobre ... ¡estadística! ¡Qué sorpresa! En este caso tratamos con algo de nombre casi tan oscuro y feo como su significado: el sesgo estadístico.

En muchas ocasiones es necesario seleccionar unos cuántos datos  en un estudio estadístico, pero en cualquier caso esta selección debe ser explicita, objetiva y  estar justificada. Si esta selección no está bien hecha o no es conocida puede introducir "preferencias" que desvirtúe las conclusiones.

En ocasiones el sesgo es simplemente un error, una negligencia inconsciente como tantas otras. A veces, es una selección consciente que depende de la conclusión que se quiera "demostrar" y esta de quién pague el estudio estadístico, algo parecido a un delito de lesa matemática. Por desgracia, no siempre es fácil distinguir un caso del otro.

Veamos primero un ejemplo ya tradicional con resultado conocido. La primera encuesta electoral telefónica de la historia se realizó en 1933 en EEUU. En esa encuesta se predecía una victoria del candidato republicano Hoover (candidato a la reelección), sin embargo ganó Roosevelt de manera aplastante, lo que conllevo la aplicación de la política económica del New Deal para luchar con la depresión del 29, contraria a la realizada hasta ese momento por el presidente Hoover. ¿Hay alguna explicación para este error? Sí, se produjo un claro sesgo, se pregunto mayoritariamente a votantes del partido republicano. Y como pista insisto en que la encuesta fue telefónica.

Respuesta: Muy fácil. Estamos en 1933, tras 4 años de Gran Depresión y medidas económicas equivocadas (estilo austericidio). Los teléfonos no eran baratos, por tanto, el hacer una encuesta telefónica en esa época era introducir un sesgo basado en la clase social a la que pertenecía el encuestado. No quedaba reflejada la opinión del 100% de la población, sino solo de los más ricos.

Ahora veremos un caso más reciente. En este artículo La escuela concertada refuerza los recursos por alumno en la pública se usan datos del ministerio de educación, sin facilitar las fuentes por desgracia, para concluir que las autonomías en las que el porcentaje de colegios privados y concertados es mayor  coinciden con las que gastan más en educación pública. Curiosamente para demostrar esto se escogen datos solo de 10 autonomías, y no de las 17 ¿Por qué? No parece que haya ninguna explicación.

En términos estadísticos lo que pretende probar esto es que existe una correlación entre el porcentaje en concertada y la inversión en pública, es decir a mayor porcentaje de una, mayor inversión en la otra. Si se representase en una gráfica veríamos una línea recta que sube de izquierda a derecha.

Si representamos los datos de las 10 autonomías escogidas se una línea claramente ascendente apoyando la conclusión mostrada en el titular.

 Pero, curiosamente si seleccionamos los datos de las otras 7 autonomías (algunas de tanto peso como Madrid o Cataluña) obtenemos una gráfica que parece indicar lo contrario.

Entonces, ¿a qué carta quedarnos? Ninguna de las dos parece concluyente. ¿No hay ninguna herramienta estadística que nos permita saber si algo es concluyente antes de hacer gráficas? Claro que sí, faltaría más. Se llama coeficiente de correlación lineal . Como se ve en la explicación de Wikipedia este número se mueve entre -1 y +1:

• +1, entonces  la correlación en torno a una recta creciente.
• -1, entonces la correlación en torno a una recta decreciente.
• 0, no es posible llegar a ninguna conclusión. 

En este caso, los valores son:

• Con todas las autonomías: 0,48
• Sólo las seleccionadas por los autores del artículo: 0,84
• Las demás autonomías: -0,86

Aquí hay una tabla en donde se clasifican lo seguro de una correlación a partir del valor este valor. Según esa tabla al conjunto de las autonomías le correspondería una correlación media, lo que parece que apoya, aunque sea parcialmente, la conclusión del artículo. Pero no olvidemos que en este escenario todas las autonomías entran con el mismo peso y quizás deberían tener más importancia las más pobladas (como Madrid o Cataluña) que están en el conjunto de las comunidades eliminadas del estudio.

Lo más importante: si queremos buscar la verdad no hay que colocar la conclusión delante de la investigación.

Hoja de cálculo con los datos, cálculos y gráficas: 

• Formato libreoffice (ods)
• Formato pdf

Fuentes de los datos usados:

• http://www.mecd.gob.es/horizontales/estadisticas.html
• http://dptoccedu.uniovi.es/noticias/-/asset_publisher/HhG3/content/datos-y-cifras-curso-escolar-2011-2012?redirect=http://dptoccedu.uniovi.es/inicio
• http://dptoccedu.uniovi.es/c/document_library/get_file?uuid=d251d414-db8f-4ee5-938c-b1f1bafa15a3&groupId=238229